متباينة كانتيللي: حد احتمال طرف واحد

الخلاصة السريعة

للمتوسط 10 والتباين 4، تعطي كانتيللي حدًا أعلى 1/5 لاحتمال الوصول إلى 14 على الأقل. [1] يحقق نموذج 9 و 14 هذا الحد بالضبط، بينما نموذج 8 و 12 يعطي احتمالًا صفرًا مع المتوسط والتباين نفسيهما. وفي النموذج الأول، احتمال أكبر من 14 صفر أيضًا.

• إذا كان للمتغير X متوسطμ وتباين منتهٍv، وكانت a موجبة، فإن P(X−μ ≥ a) ≤ v/(v+a²). وتنطبق الصيغة نفسها على الطرف السفلي P(X−μ ≤ −a). [1] لا نفترض تناظر التوزيع.
• في نموذج 9 و 14 باحتمالين 4/5 و 1/5، المتوسط 10 والتباين 4. عند a=4 يصبح الحد 4/(4+16)=1/5، ويساوي احتمال X ≥ 14 فعلًا.
• ضع Y=X−10، ثم Z=(Y+1)². قيم Z هي 0 و 25، ومتوسطها 5. الحدث X ≥ 14 يقتضي Z ≥ 25، ولذلك لا يتجاوز احتماله 5/25=1/5.
• الحدث X ≥ 14 يشمل القيمة 14، لكن X > 14 لا يشملها. في النموذج نفسه الاحتمالان 1/5 وصفر. استبدال العلامة يغير الحدث المقصود.
• توزيع 8 و 12 بالتساوي له المتوسط 10 والتباين 4 أيضًا، لكن احتمال X ≥ 14 صفر. ولتوزيع 6 و 11 باحتمالين 1/5 و 4/5، احتمال X ≤ 6 يساوي 1/5. الحد لا يحدد توزيعًا وحيدًا.
• لطرفين معًا، يعطي حساب مربع الانحراف مباشرة حد 1/4 عند المسافة 4. جمع حدّي الطرفين المنفصلين يعطي 2/5، وهو أضعف هنا. وللمتغير الثابت 10، التباين صفر وكل هذه الأحداث البعيدة مستحيلة.

احسب المتوسط والتباين من الاحتمالات

النموذج منتهٍ وله احتمالان مجموعهما 1. المتوسط هو المجموع الموزون للقيم: 9×(4/5)+14×(1/5)=10. لا نجمع 9 و 14 ثم نقسم على 2، لأن الاحتمالين غير متساويين. هذه أعداد تعليمية مجردة وليست بيانات قياس.

التباين هنا متوسط مربعات الانحراف عن المتوسط، باستعمال احتمالات النموذج نفسه. الانحرافان عن 10 هما −1 و 4، ومربعاهما 1 و 16. مساهمتاهما في التباين 4/5 و 16/5؛ المجموع 4. الانحراف المعياري 2، وهو الجذر الموجب لهذا التباين.

نريد الحدث X−10 ≥ 4، أي X ≥ 14. القيمة 14 وحدها تحقق الشرط، واحتمالها 1/5. لأن النموذج معروف، نحسب الاحتمال بالجمع المباشر. سنحتاج الحد العام عندما تكون المعلومات المتاحة عن التوزيع أقل من هذا التفصيل.

مربع مزاح يحول الحدث إلى مقدار غير سالب

ضع Y=X−10. يأخذ Y القيمتين −1 و 4، ومتوسطه صفر. اختر الإزاحة 1، ثم Z=(Y+1)². عندما X=9 نحصل على Y=−1 و Z=0؛ وعندما X=14 نحصل على Y=4 و Z=25. إذن E Z=0×(4/5)+25×(1/5)=5.

على الحدث Y ≥ 4، يكون Y+1 ≥ 5، ولذلك Z ≥ 25. خارج الحدث، يبقى Z غير سالب. في مجموع التوقع، مساهمة الحدث لا تقل عن 25 مضروبة في احتماله؛ ومن ثم 25 P(Y ≥ 4) ≤ 5. بقسمة الطرفين على 25 نجد الحد 1/5.

في نموذجنا، Z يساوي 25 على الحدث وصفرًا خارجه؛ لذا تصير المقارنة مساواة. هذا يفسر بلوغ الحد حسابيًا. لم نشترط أن يكون X غير سالب في الحجة؛ المقدار الذي نحتاج عدم سلبه هو مربع Y+1.

اختيار الإزاحة العامة دون تفاضل

نستخدم v اختصارًا للتباينσ²، ونضع Y=X−μ. متوسط Y صفر ومتوسط Y² هو v. اختر b ≥ 0 وعرّف Z=(Y+b)². بالتوزيع، E Z=v+b²، لأن الحد الذي يحوي متوسط Y يساوي صفرًا.

إذا Y ≥ a وكانت a > 0، فإن Y+b ≥ a+b > 0؛ فيجوز تربيع المقارنة. لذلك Z ≥ (a+b)² على الحدث. بجمع المساهمات أو تكاملها، (a+b)² P(Y ≥ a) ≤ v+b². خارج الحدث لا يمكن لمربع سالب أن يفسد المقارنة، إذ لا توجد قيم سالبة للمربع.

ضع F(b)=(v+b²)/(a+b)² و C=v/(v+a²). للتحقق من أن C أفضل اختيار في هذه العائلة، عرّف N=(ab−v)² و D=(a+b)²(v+a²). بتوحيد المقامين والتوزيع نحصل على F(b)−C=N/D. البسط غير سالب والمقام موجب، فتكون F(b) ≥ C.

اختر b=v/a، فيصبح ab−v=0 وتساوي F(b) مقدار C. هذا يثبت الحد المطلوب مباشرة. إذا v=0، يبقى الاختيار b=0 صالحًا لأن a موجبة. وفي المثال v=4 و a=4، نحصل على b=1، وهو المربع المزاح الذي حسبناه.

المرجع يورد صيغتي الطرف الواحد. [1] الحجة السابقة مكتوبة هنا باستعمال مربع مزاح وهوية جبرية، ثم نطبقها على −Y للطرف السفلي. متوسط −Y صفر وتباينه v؛ والحدث −Y ≥ a هو Y ≤ −a. لا يحتاج هذا الانتقال إلى افتراض التناظر.

على الأقل تختلف عن أكبر من

في النموذج الأول، X ≥ 14 يشمل كتلة الاحتمال عند 14، فتكون النتيجة 1/5. أما X > 14 فلا توجد قيمة تحققه، فاحتماله صفر. الحد 1/5 يظل صالحًا للحدث الأصغر، لكنه لا يساوي الاحتمال الفعلي له في هذا النموذج.

في الجدول، التوزيع الأول يضع الاحتمالين 4/5 و 1/5 عند 9 و 14. الثاني يضع 1/2 عند كل من 8 و 12. الثالث يضع 1/5 عند 6 و 4/5 عند 11. متوسط كل منها 10 وتباينه 4؛ الأعمدة تحسب أحداثًا محددة، ولا تفترض أن الطرفين متساويان.

التوزيع الثاني يحقق انحرافين −2 و 2 فقط، فلا يصل إلى 14 ولا إلى 6. الثالث يحقق الطرف السفلي عند 6 باحتمال 1/5، لكنه لا يصل إلى 14. هذه المقارنة تبين أن معرفة المتوسط والتباين تتيح حدًا، ولا تعطي دائمًا احتمال الحدث نفسه.

الطرفان معًا يحتاجان حدثًا آخر

إذا كان المطلوب|Y| ≥ a، نستعمل Y² مباشرة: على الحدث Y² ≥ a²، ومتوسط المربع v. الحجة غير السالبة تعطي P(|Y| ≥ a) ≤ v/a². عند v=4 و a=4 نحصل على 1/4.

يمكن أيضًا جمع الحدين المنفصلين 1/5 و 1/5، لأن الحدثين Y ≥ 4 و Y ≤ −4 متنافيان، لكن النتيجة 2/5 أكبر من 1/4. كلاهما حد أعلى؛ الأصغر أشد إفادة هنا. لا ننسب حد 1/5 نفسه إلى الطرفين مجتمعين.

في النموذج الأول، الحدث|Y| ≥ 4 يتحقق عند X=14 فقط، فاحتماله 1/5. لذلك الحد الثنائي 1/4 لا يتحقق بالمساواة في هذا النموذج. ولا يجوز تقسيم حد الطرفين بالتساوي دون معلومة إضافية عن التوزيع.

حدود الاستخدام: التباين صفر والمعلومات المقدرة

إذا X ثابت عند 10، فمتوسطه 10 وتباينه صفر. عند a=4، أحداث X ≥ 14 و X ≤ 6 و|X−10| ≥ 4 كلها مستحيلة؛ الحد صفر صحيح. وجود تباين صفر لا يلزمنا بقسمة على الانحراف المعياري في البرهان.

شرط a > 0 ضروري للصيغة المستعملة. في النموذج الثابت، إذا وضعت a=0 صار الحدث X ≥ 10 مؤكدًا، بينما الكسر الذي يجمع تباينًا صفرًا ومسافة صفرًا يصبح 0/0 غير معرف. لذلك لا نعالج تلك الحالة بإدخال الصفر في الصيغة.

استعملنا المتوسط والتباين الحقيقيين للنموذج المحدد. استبدالهما بمتوسط عينة وتباين مقدر لا يحافظ تلقائيًا على البرهان نفسه. هذه المقالة لا تستخرج فترة ثقة ولا احتمالًا دقيقًا من تقديرين، ولا تفترض توزيعًا طبيعيًا.

حدد الحدث أولًا: طرف علوي أم سفلي أم طرفان؟ ثم راجع علامة الحد وإيجابية المسافة، واحسب الحد من لحظات النموذج. وإذا عرفت القيم واحتمالاتها، احسب الاحتمال المباشر أيضًا لتعرف مقدار الفرق بينه وبين الحد.