مرشح المتوسط المتحرك: لماذا لا يحذف كل تردد مرتفع؟

النافذة ثابتة، لكن ماذا تضع قبل البداية؟

يتحرك المتوسط مع العينات ضمن نافذة محدودة، ومعاملاته متساوية؛ لذلك هو حالة خاصة من FIR. [1]

نثبت في هذا المقال العلاقة y[n]=(x[n]+x[n−1]+x[n−2]+x[n−3])/4، حيث n فهرس صحيح والعينات متباعدة زمنيًا بالتساوي. يشرح المرجع متوسط العينة الحالية وثلاث سابقة. [2]

الأوزان الأربعة 1/4 لا تتغير مع n. إذا كانت جميع العينات في النافذة تساوي c، فالناتج (4c)/4=c. لا تعني هذه المحافظة على الثابت المحافظة على كل تغير زمني.

نختار خطوة مفترضة x[n]=0 عندما n<0، وx[n]=1 عندما n≥0. عند n=0 تدخل نافذة فيها واحد وثلاثة أصفار، فيكون y[0]=1/4. ثم y[1]=2/4=1/2 وy[2]=3/4 وy[3]=1؛ ويظل الناتج 1 بعدها.

هناك قاعدة أخرى ممكنة للسجل القصير: عند n=0 نقسم العينة الوحيدة على 1، وعند n=1 نقسم عينتين على 2، ثم ثلاثًا على 3. في خطوة الواحد تعطي هذه القاعدة 1 منذ البداية. لا تتناقض مع الحساب السابق؛ لقد تغير المقام والنافذة عند الحافة.

إذا كان الواحد موجودًا أيضًا قبل n=0، أعطت علاقتنا الثابتة 1 من أول فهرس. لذلك وصف التاريخ السابق أو طريقة التعامل مع القيم الناقصة جزء من تعريف النتيجة. لا ننسب هذا الاختيار تلقائيًا إلى أي برنامج.

تردد يختفي وآخر أعلى منه يبقى

ينبه المرجع إلى أن استجابة المتوسط المتحرك لا تطابق مرشحًا مثاليًا، وأن منطقة التمرير ليست مسطحة وتوجد تموجات خارجها. [1]

نحسب الاستجابة في مثالنا، دون نقل رسم المصدر. افترض x[n]=e^(iωn) لكل فهرس صحيح، حيث i²=−1. بتعويض هذه الإشارة في متوسط الأربع نحصل على y[n]=H(ω)e^(iωn)، حيث H(ω)=(1+e^(−iω)+e^(−2iω)+e^(−3iω))/4. كسب السعة هو |H(ω)|.

نختار Fs=12 عينة في الثانية؛ لتردد f هرتز نضع ω=2πf/12 راديان لكل عينة. عند f=0 يكون H=1. وعند f=3 تكون ω=π/2، فتجمع الحدود إلى 1−i−1+i=0. وعند f=6 تكون ω=π، فتجمع إلى 1−1+1−1=0.

عند f=4 تكون ω=2π/3. إذا وضعنا z=e^(−2πi/3)، فلدينا 1+z+z²=0 وz³=1. إذن H=(1+z+z²+z³)/4=1/4. يوجد تردد أعلى من 3 له كسب غير صفري، رغم أن 3 نفسه يختفي.

يمكن رؤية الحساب دون أعداد مركبة. متتالية جيب التمام عند 3 هرتز هي تكرار [1,0,−1,0]؛ كل أربع قيم متتابعة مجموعها صفر. وعند 4 هرتز هي تكرار [1,−1/2,−1/2]؛ ثلاث قيم مجموعها صفر، والرابعة تساوي قيمة العينة الحالية، فيكون الناتج ربعها.

النتائج السابقة تفترض الإشارة الممتدة قبل أي بداية نختارها. إذا بدأنا جيب التمام عند n=0 مع أصفار قبله، فالمخرج الأول 1/4 حتى عند 3 هرتز؛ بعد اكتمال أربع عينات، أي من n=3، ينطبق الإلغاء في هذا المثال. لا نخلط الاستجابة المستقرة مع حافة سجل مبتور.

هذا المرشح لا يعرف أي جزء من المدخل إشارة مرغوبة وأي جزء ضوضاء. إن كان مكوّن 3 هرتز هو المعلومة التي تريدها، فالإلغاء نفسه يزيلها. نقاط الكسب المحسوبة ليست مواصفة حد قطع تزيل جميع الترددات الأعلى منه.

متوسط الماضي يتأخر عن تغير الحاضر

نختار الآن x[n]=n لكل فهرس صحيح، بما فيه السالب، لنفصل أثر المتوسط عن أثر البداية. بالتعويض: y[n]=(n+(n−1)+(n−2)+(n−3))/4=(4n−6)/4=n−3/2.

الناتج يقل عن العينة الحالية بمقدار 1.5 في هذا المثال ذي الزيادة الواحدة لكل عينة. أعمار العينات المستعملة هي 0 و1 و2 و3 فترات؛ متوسط أعمارها (0+1+2+3)/4=1.5 فترة.

إذا كانت فترة أخذ العينات 1/12 ثانية، فمتوسط العمر 1.5/12=1/8 ثانية. تصف هذه القيمة تأخر المنحدر المحسوب هنا؛ لا تمثل زمن انتقال في جهاز، ولا نعيد كل إشارة اعتباطية بمجرد نقلها عينة أو عينتين.

يمكن اختبار الفارق بنبضة: إذا كانت x[0]=1 وسائر العينات صفرًا، أعطى المرشح أربع قيم 1/4 عند n=0 و1 و2 و3، بدل نبضة واحدة منقولة. مركز هذه القيم عند 1.5، لكن شكل الخرج مختلف عن المدخل.

نقارن بتعريف متمركز مختلف، من ثلاث عينات فقط: q[n]=(x[n−1]+x[n]+x[n+1])/3. للمنحدر الممتد x[n]=n يعطي q[n]=n. هذا التعريف يحتاج x[n+1]، فلا يصبح الناتج المنسوب إلى n متاحًا في بث حي إلا بعد وصول العينة التالية.

يمكن حسابه بعد جمع السجل أو انتظار العينة المطلوبة. الفرق هنا في العينات المستخدمة وفي وسم الوقت وزمن الإتاحة؛ لم نحسب نافذة متمركزة ذات أربع عينات، ولم نزعم أن أي تنعيم متمركز يحفظ جميع أشكال الإشارات.

خفض التباين مشروط بعلاقة الضوضاء

نعرّف ضوضاء v[n] بمتوسط احتمالي صفر وتباين 1 لكل فهرس، وبشرط E[v[j]v[k]]=0 للفهرسين المختلفين. الرمز E يعني المتوسط الاحتمالي. لا نستنتج استقلالًا من هذا الشرط، ولا نفترض توزيعًا غاوسيًا.

ضوضاء الخرج η[n]=(v[n]+v[n−1]+v[n−2]+v[n−3])/4. عند تربيع المجموع وأخذ E، تساهم مربعات العينات الأربع بمجموع 4، وتختفي الجداءات بين الفهارس المختلفة؛ لذلك Var(η[n])=4/16=1/4.

هذا استنتاج عن التباين في النموذج، لا عن مقدار كل عينة ضوضاء فعلية. كما أنه لا يقيس خطأ تتبع إشارة متغيرة؛ حسبنا في القسم السابق أن المتوسط نفسه يغير المنحدر والنبضة.

لنغير الشرط: اجعل جميع العينات v[n]=Z، حيث Z متغير عشوائي واحد بمتوسط صفر وتباين 1. عندئذ η[n]=(4Z)/4=Z، فيظل التباين 1. كل جداء بين عينتين له متوسط 1، فلا يصح إسقاطه كما فعلنا في النموذج الأول.

حتى في النموذج الأول، تداخل النوافذ يجعل خرجين متجاورين مترابطين. تحتوي η[n] وη[n+1] على ثلاث عينات مشتركة. في مجموع الجداءات الستة عشر، تساهم هذه الثلاث فقط بواحد لكل منها؛ ومنه E[η[n]η[n+1]]=3/16، وهو التغاير لأن المتوسطين صفر.

للقراءة العملية سمِّ طول النافذة وتاريخ البداية ومعدل أخذ العينات، ثم احسب أثرها على التغير الذي تهتم به وعلاقة الضوضاء. لم نجر تجربة جهاز أو اختبارًا على بيانات؛ أرقامنا مشتقة من مدخلات وافتراضات معلنة.