معادلة سيلفستر هنا AX+XB=C، والمجهول مصفوفة X. [2] ندرس الوجود والحل الوحيد بمثال يتغير بمعامل t.
افهم الأبعاد وشرط الحل الوحيد
في AX+XB=C، أبعاد A:m×m، وB:n×n، وX وC:m×n؛ قد تكون X مستطيلة. [2]
لكل C حل وحيد بالضبط عندما λᵢ(A)+λⱼ(B)≠0 لكل زوج؛ أي طيفا A و−B منفصلان. [1][2] خلاف ذلك، افحص توافق الطرف المحدد.
نختار A=diag(2,5) وBₜ=diag(−2+t,1)، مع t≥0. الرمز diag يضع العددين على القطر والأصفار خارجه. سنكتب X=[[x₁₁,x₁₂],[x₂₁,x₂₂]]، وكل مجموعة داخلية صف.
الضرب من اليسار في A يضرب الصف الأول في2 والثاني في5. والضرب من اليمين في Bₜ يضرب العمود الأول في−2+t والثاني في1. إذن AX+XBₜ=[[t x₁₁,3x₁₂],[(3+t)x₂₁,6x₂₂]].
القيم الذاتية للعاملين هي عناصر قطريهما؛ المجاميع الأربعة t و3 و3+t و6 هي معاملات العناصر المحسوبة. عند t>0 لا يصفر أي منها، فتنفصل المسألة إلى أربع معادلات عددية ذات حل وحيد.
الطرف الأيمن يميز انعدام الحل من تعدده
ثبت C=[[1,6],[9,12]]. عند t>0 نقسم كل خانة على معاملها: x₁₁=1/t، وx₁₂=6/3=2، وx₂₁=9/(3+t)، وx₂₂=12/6=2. هذا يعطي X المذكورة في الخلاصة.
عند t=1 مثلًا، X=[[1,2],[9/4,2]]. نحسب AX=[[2,4],[45/4,10]] وXB₁=[[−1,2],[−9/4,2]]؛ جمعهما[[1,6],[9,12]] يعيد C بالضبط.
عند t=0، المعادلة الأولى0×x₁₁=1 مستحيلة. لا يزيلها اختيار x₁₁ كبير جدًا؛ الصفر مضروبًا في أي عدد يبقى صفرًا. لذلك لا يوجد حل للطرف C الأصلي.
غيّر الخانة الأولى فقط إلى0: C₀=[[0,6],[9,12]]. صارت الأولى0×x₁₁=0، صحيحة لكل x₁₁=s. أما البقية فتثبت x₁₂=2 وx₂₁=3 وx₂₂=2. إذن جميع الحلول[[s,2],[3,2]]، لا مجرد أمثلة مختارة.
لاحظ أن A وB₀ قابلتان للعكس: محدداهما10 و−2. ومع ذلك حصلنا على انعدام الحل أو تعدده بحسب C. وجود المعكوسين منفردين لم يحسم المعادلة المصفوفية.
معكوس العاملين ليس اختبارًا ولا اختصارًا
عند t=2، تكون B₂=diag(0,1) غير قابلة للعكس. لكن معاملات معادلتنا2 و3 و5 و6 كلها غير صفرية، لذلك للطرف الأصلي حل وحيد X=[[1/2,2],[9/5,2]].
يمكن التأكيد: AX=[[1,4],[9,10]] وXB₂=[[0,2],[0,2]]، فيكون المجموع C. هذا مثال مضاد للاعتقاد بأن تفرد أحد العاملين يمنع الحل الوحيد.
لا نجمع A وB ثم نضرب في معكوس مجموعهما تلقائيًا. عند t=1، المصفوفتان قطريتان وتتبادلان الضرب، لكن X فيها عناصر خارج القطر؛ لذلك لا يلزم XB₁=B₁X.
لدينا A+B₁=diag(1,6). الاختصار الخاطئ Y=(A+B₁)⁻¹C يعطي[[1,6],[3/2,2]]. عند التعويض AY+YB₁=[[1,18],[6,12]]، وهو مختلف عن C.
السبب ليس خطأً في عكس المجموع؛ معكوسه موجود. السبب أن AX+XB لا يساوي(A+B)X إلا إذا كان XB=BX في هذا التعبير. نتحقق من ترتيب الضرب قبل أي استخراج للمجهول.
الحل الوحيد قد يستجيب بقوة لفرق صغير
في عائلتنا ومع t>0، إذا زدنا c₁₁ بمقدار δ وأبقينا بقية البيانات، صار x₁₁ الجديد(1+δ)/t. الفرق عن1/t هو δ/t تمامًا؛ بقية العناصر لا تتغير.
خذ δ=1/1000. عند t=1/100، يزيد x₁₁ من100 إلى100+1/10. وعند t=1/100000، يزيد من100000 إلى100100؛ فرق الحل100 رغم أن فرق المدخل ما زال1/1000.
هذه فروق مطلقة، ولا تعني أن الخطأ النسبي تضخم بالنسبة نفسها. في الخانة الأولى هنا، فرق المدخل النسبيδ/1 يساوي فرق الحل النسبي(δ/t)/(1/t)=δ.
وعند t=0 والطرف المتوافق C₀، أي δ غير صفري في c₁₁ يحول الشرط0=0 إلى0=δ، فيصبح الطرف غير متوافق. هذا انتقال في قابلية الحل، لا تقريب لحل كبير.
كل علاقات القسمة والحساسية المحسوبة هنا تخص العائلة القطرية المحددة. لا نستنتج منها أن أصغر مجموع قيم ذاتية يقيس حساسية كل مصفوفتين غير قطريتين. ابدأ بالوجود والفرادَة، ثم افحص أثر تغيير البيانات.
| الحالة | الطرف | النتيجة |
|---|---|---|
| t=1 | C | حل وحيد [[1,2],[9/4,2]] |
| t=0 | C | لا حل |
| t=0 | C₀ | [[s,2],[3,2]] لكل s حقيقي |
| t=2 | C | حل وحيد مع B₂ منفردة |
للتوسع: الجبر الخطي.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.