هويات نيوتن: احسب مجموع قوى الجذور دون استخراجها

اختر تعريفًا واحدًا للرموز

نكتب المكعب ax³+bx²+cx+d معa≠0. قسمة المقدار كله علىa لا تغير جذوره، لأن قيمة المقدار صفر إذا وفقط إذا كانت قيمته بعد القسمة صفرًا. نحصل علىx³+c₁x²+c₂x+c₃، حيثc₁=b/a وc₂=c/a وc₃=d/a.

تُحسب الجذور الثلاثة في الأعداد العقدية مع التكرار. [3] نرمز لهاr وs وt، ونعرّفpₖ=rᵏ+sᵏ+tᵏ لكل عدد صحيح موجبk. [1]

لا تخلطp₂ معp₁². لو كانت القائمة−2،1،4، فالمجموع3 ومربعه9، بينما مجموع المربعات4+1+16=21. الحدود المختلطة تظهر عند تربيع المجموع، ولا تظهر عند تربيع كل جذر منفردًا.

في P(x)=2x³−6x²−12x+16، القسمة على2 تعطيF(x)=x³−3x²−6x+8. إذنc₁=−3 وc₂=−6 وc₃=8. قراءة−6 و−12 و16 بوصفها معاملات المكعب الموحّد خطأ.

هدفنا حسابp₃ وما بعده من المعاملات؛ استخراج قيمة كل جذر ليس خطوة لازمة في هذا المسار. [2]

ابدأ بثلاث هويات مختلفة

الصيغ الابتدائية للمكعب هيp₁+c₁=0، وp₂+c₁p₁+2c₂=0، وp₃+c₁p₂+c₂p₁+3c₃=0. [2]

فيF نجدp₁=−(−3)=3. ثمp₂=−(−3)×3−2×(−6)=9+12=21. ثمp₃=3×21+6×3−3×8=63+18−24=57.

لماذا يظهر3 أمام الثابت في المعادلة الثالثة؟ كل جذرu يحققu³+c₁u²+c₂u+c₃=0. اجمع المعادلة مرة عندr، ومرة عندs، ومرة عندt: الثابت يظهر ثلاث مرات، فيجمع إلى3c₃.

إذا كتبت−c₃ بدل−3c₃ في المثال، تحصل على63+18−8=73 بدل57. لا يعوّض هذا الخطأ تحسين تقريب الجذور؛ المشكلة في عد مرات الحد الثابت.

للمراجعة المستقلة، F(x)=(x+2)(x−1)(x−4). ضرب العاملين الأخيرين يعطيx²−5x+4، ثم الضرب فيx+2 يعيدx³−3x²−6x+8. الجذور−2،1،4 تعطي مكعبات−8،1،64، ومجموعها57.

هذه المراجعة تؤكد المثال. أما الهوية الثالثة نفسها فقد اشتققناها بجمع المعادلات، فلا نعتمد على نجاح اختبار عدد واحد لإثبات صيغة عامة.

للقوى الأعلى استخدم النتائج السابقة

بعد القوة الثالثة تتغير الصيغة: للمكعب ومعk≥4، لديناpₖ+c₁pₖ₋₁+c₂pₖ₋₂+c₃pₖ₋₃=0. [2]

نشتقها مباشرة: لكل جذرu، اضربu³+c₁u²+c₂u+c₃=0 فيuᵏ⁻³، ثم اجمع عبر الجذور الثلاثة. الأسk−3 موجب، فلا تتطلب الخطوة قسمة على الجذر؛ حتى الجذر الصفري مسموح.

في مثالF تصبح العلاقةpₖ=3pₖ₋₁+6pₖ₋₂−8pₖ₋₃. للقوة الرابعة: p₄=3×57+6×21−8×3=171+126−24=273.

ثمp₅=3×273+6×57−8×21=819+342−168=993. وللسادسةp₆=3×993+6×273−8×57=2979+1638−456=4161.

من القائمة−2،1،4 نراجع: p₄=16+1+256=273، وp₅=−32+1+1024=993، وp₆=64+1+4096=4161. الإشارة السالبة تبقى في القوة الفردية، وتزول في الزوجية.

لاحظ الفرق بين الحد الثابت في البداية وما بعدها: عندk=3 ظهر3c₃، وعندk=5 يظهرc₃p₂. فيF الأول24 والثاني168؛ لا تمد الهوية الابتدائية إلى كل قوة دون تغيير.

التكرار والجذور العقدية جزء من القائمة

الجذر المكرر يبقى في الجمع بعدد مرات ظهوره. [3] خذH(x)=(x−3)²(x+2)=x³−4x²−3x+18؛ القائمة3،3،−2.

الحساب المباشر يعطيp₁=4 وp₂=9+9+4=22 وp₃=27+27−8=46. المعاملاتc₁=−4 وc₂=−3 وc₃=18 تعطيp₂=4×4+6=22 وp₃=4×22+3×4−54=46.

إذا جمعت القيم المختلفة3 و−2 مرة واحدة، تحصل على مجموع1 ومجموع مربعات13؛ هذا سؤال آخر. هويات المكعب تستخدم ثلاث خانات للجذور، ولو تساوت خانتان.

وخذK(x)=(x−2)(x²+1)=x³−2x²+x−2. جذوره2 وi و−i، حيثi²=−1. مجموع مربعاتها4−1−1=2، ومجموع مكعباتها8−i+i=8.

من المعاملاتc₁=−2 وc₂=1 وc₃=−2 نحصل علىp₁=2 وp₂=2×2−2=2 وp₃=2×2−1×2−3×(−2)=8. الاقتصار على الجذر الحقيقي2 يعطيp₂=4، فلا يمثل مجموع القوى المطلوب.

احتفظ بإشارات المعاملات، وبالتكرار، وبالجذور غير الحقيقية عند وجودها. رتب جدولك حسبk، وأنهِp₁ ثمp₂ ثمp₃ قبل العلاقة التي تستخدم آخر ثلاث نتائج. حديثنا هنا عن قوى صحيحة موجبة، لا عن مقلوبات الجذور.