ارسم صفين، في كل منهما ثلاث خانات، وسمِّ الصف العلوي من اليسار إلى اليمين A,B,C، والسفلي D,E,F. لو أضاءت C,D,E، فهل تستطيع إطفاء الجميع؟ سنحل هذا المثال بأكثر من طريقة، ثم نغيّر البداية إلى مصباح واحد ونرى لماذا يصبح الهدف مستحيلًا. الحروف تحدد المواضع؛ لا تتغير عندما ينطفئ الضوء.
الخلاصة السريعة
- الضغطة تبدّل الخانة وجيرانها المتعامدين؛ إعادة الضغطة نفسها تلغي أثرها.
- في لوحتنا الأولى يكفي ضغط A,B أو C,E؛ ولها أيضًا حلان من أربع ضغطات.
- راقب زوجية عدد المصابيح المضاءة داخل مجموعات مختارة؛ قد تكشف استحالة الحل قبل تجربته.
- اختبارنا الكامل وجد 16 لوحة قابلة للحل من 64 حالة بداية ممكنة، ولكل منها أربعة أنماط ضغط.
ثبّت القاعدة قبل أن تبدأ
نستخدم نسخة ثنائية: مضاء أو مطفأ. الضغط يعكس حالة الخانة نفسها وما يجاورها أعلى وأسفل ويمينًا ويسارًا، دون الأقطار أو الالتفاف حول الحواف. الهدف إطفاء الجميع. نرمز للمضاء بواحد، وللمطفأ بصفر؛ والجمع هنا يحسب الباقي عند القسمة على اثنين. شرح القاعدة.
في رسمنا يبدّل ضغط A الخانات A,B,D فقط. أما ضغط B فيبدّل A,B,C,E. احرص على بقاء الاتجاهات كما رسمتها: لا تجعل C مجاورة لـA لمجرد أنهما على طرفي الصف.
نكتب الحالة بالترتيب ABCDEF. البداية 001110 تعني أن الخانات الثالثة والرابعة والخامسة مضاءة. بعد ضغط A تصبح 111010؛ وبعد ضغط B تصبح 000000. لذلك ليست زيادة عدد الأضواء من ثلاثة إلى أربعة دليلًا على أن الخطوة الأولى خاطئة.
استبدل تسلسل الحركات بستة قرارات
نمثل كل خانة بمتغير ضغط قيمته صفر أو واحد، وننشئ معادلة لكل ضوء. تجمع المعادلة الضغطات التي تؤثر فيه. يمكن كتابة ذلك Ax=b بحساب ثنائي؛ أعمدة المصفوفة تمثل آثار الضغطات. مرجع النموذج الجبري.
سنستخدم الحروف الصغيرة a,b,c,d,e,f لقرارات الضغط على المواضع ذات الحروف الكبيرة. المتغير a=1 يعني اضغط A مرة، ولا يعني أنها مضاءة في البداية. الرمز ⊕ في الحساب التالي يعطي صفرًا إذا اجتمع عدد زوجي من الواحدات، وواحدًا إذا كان عددها فرديًا.
لكي تنطفئ A، وهي مطفأة أصلًا، نحتاج عددًا زوجيًا من ضغطات A,B,D. أما C، المضاء أصلًا، فيحتاج عددًا فرديًا من ضغطات B,C,F. بتكرار الفحص للخانات الست نحصل على نظام مثالنا:
a ⊕ b ⊕ d = 0
a ⊕ b ⊕ c ⊕ e = 0
b ⊕ c ⊕ f = 1
a ⊕ d ⊕ e = 1
b ⊕ d ⊕ e ⊕ f = 1
c ⊕ e ⊕ f = 0ابدأ بالمعادلة الأخيرة: c=e⊕f. عوّض في الثالثة فتحصل على b=1⊕e؛ إذ يختفي تكرار f. من الأولى a=b⊕d، ثم تجعل الثانية d=f. تبقى المعادلتان الرابعة والخامسة متحققتين بعد التعويض. بذلك نستطيع اختيار e وf بحرية، وحساب الباقي:
a = 1 ⊕ e ⊕ f
b = 1 ⊕ e
c = e ⊕ f
d = fأربعة حلول، وليس حلًا وحيدًا
لكل من e وf قيمتان، فتنتج أربعة اختيارات فقط. الجدول لا يعرض أربع محاولات انتقيناها عشوائيًا؛ إنه يغطي جميع قيم المتغيرين الحرين، ومن ثم جميع حلول النظام:
| e | f | اضغط الخانات | العدد |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | A, B | 2 |
| 1 | 0 | C, E | 2 |
| 0 | 1 | B, C, D, F | 4 |
| 1 | 1 | A, D, E, F | 4 |
أعد تطبيق أي صف على البداية. حل الضغطتين أقصر من حل الأربع، ولا يوجد حل من ضغطة واحدة في هذه القائمة الكاملة. إذا كررت ضغطة مرتين، تستطيع حذف التكرارين مع إبقاء النتيجة؛ لذلك لن ينتج تسلسل طويل يخفي حلًا أقصر خارج أنماط الصفر والواحد.
كذلك لا يلزم تنفيذ الحروف بترتيب الجدول: جرب B ثم A. في الحالتين تتلقى كل خانة العدد نفسه من التبديلات. سجل الاختبار الحاسوبي فحص 1,957 ترتيبًا لجميع مجموعات الضغط المختلفة على هذه اللوحة، واتفق كل ترتيب مع نتيجة مجموعته.
مصباح واحد قد يكون أصعب من ثلاثة
غيّر البداية إلى A مضاءة وحدها، أي 100000. راقب المجموعة A,B,C,E فقط، واحسب كم خانة منها تتأثر بكل ضغطة. بالرجوع إلى المجاورة المرسومة نحصل على الأعداد التالية:
| الضغطة | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الخانات المراقبة المتبدلة | 2 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 |
الأعداد كلها زوجية. كل تبديل مفرد يعكس زوجية عدد الأضواء داخل المجموعة، لكن عددًا زوجيًا من التبديلات يعيد الزوجية كما كانت. البداية الجديدة فيها ضوء واحد ضمن المجموعة؛ أي عدد فردي. اللوحة المطفأة فيها صفر؛ أي عدد زوجي. إذن لا توجد سلسلة ضغطات تصل من البداية الجديدة إلى الهدف.
يمكن إعادة بناء الفحص نفسه مع المجموعة A,C,D,F؛ كل ضغطة تبدّل خانتين منها بالضبط. في حصر لوحتنا، اجتازت 16 حالة الشرطين معًا، وكانت جميعها قابلة للحل. لا ننقل هاتين المجموعتين تلقائيًا إلى لوحة بأبعاد أو قواعد أخرى.
كيف تحققنا من الحساب؟
أنشأنا أثر كل ضغطة من مسافة الخانات على الشبكة. عدد أنماط الضغط هو 2⁶=64، لأن لكل خانة قرارين مستقلين. استخدم البرنامج المجال من صفر إلى 63، وكل عدد يمثل ستة بتات؛ العدد يصف خانات الضغط، لا ترتيب تنفيذها.
لكل واحدة من حالات البداية الأربع والستين، جرّب البرنامج أنماط الضغط الأربعة والستين. في 4,096 مقارنة، وافقت النتيجة محاكيًا ثانيًا يقلب الخانات المجاورة مباشرة بإحداثيات الصف والعمود. قورنت قوائم الحلول أيضًا بحذف غاوسي ثنائي مستقل في تنظيمه، فاتفقت للحالات كلها؛ وكانت رتبة مصفوفة هذه اللوحة أربعة.
ظهرت 16 حالة قابلة للحل، بأربعة أنماط لكل حالة، و48 حالة بلا حل. فحصنا أيضًا إعادة الضغط نفسه مرتين لكل خانة وكل بداية، في 384 اختبارًا، ورفض النموذج ثمانية مدخلات لا تمثل أقنعة صحيحة من ست خانات. هذه نتائج تنفيذ فعلي للحساب، وليست قياسًا لمهارة لاعبين.
لرسم لغز قابل للحل، ابدأ بلوحة مطفأة واضغط مجموعة خانات، ثم أعطِ الحالة الناتجة لشخص آخر. إعادة المجموعة نفسها تطفئها. أما اختيار حالات المصابيح بحرية فقد ينتج لوحة مستحيلة، كما أثبت مثال المصباح المنفرد.