المثال المضاد في الرياضيات وشروطه مع أمثلة محلولة

المثال المضاد حالة تحقق شروط عبارة عامة، لكنها تخالف نتيجتها. يكفي مثال صحيح واحد لنقض التعميم. تتعلم هنا كيف تختاره وتشرح صلاحيته، بأمثلة عددية وتمارين محلولة تميز بين النقض وعدم العثور على برهان.

الخلاصة السريعة

ابدأ بقراءة المجال والشروط، ثم ابحث عن حالة مسموحة تجعل النتيجة خاطئة، واكتب الحساب الذي يوضح ذلك.

المثال المضاد ينقض عبارة عامة؛ كثرة الحالات الموافقة لا تلغي وجوده.
نجاح عدة تجارب لا يثبت تعميمًا يشمل حالات لم تُفحص.
قد تصلح قيمة كسرية لنقض ادعاء عن الأعداد الحقيقية، ولا تصلح إذا كان المجال أعدادًا صحيحة فقط.
لنقض عبارة شرطية، يجب أن يتحقق الشرط وتفشل النتيجة معًا.
نفي «كل الحالات تحقق الخاصية» يعني وجود حالة مخالفة، ولا يعني مخالفة جميع الحالات.
راجع صحة الحساب وصحة الاستدلال، فكل منهما ضروري لفهم الحل.
في التدريب، اذكر الحالة المختارة وسبب قبولها، ثم بيّن موضع فشل العبارة.

ما المقصود بالمثال المضاد؟

يوضح ريتشارد هاماك في كتاب البرهان أن نقض وصف عام لعناصر مجموعة يكون بإظهار عنصر منها يخالفه. لا يكفي ذكر العنصر؛ ينبغي شرح المخالفة. المثال المضاد أداة منطقية محددة، وليست مجرد رأي مختلف. [١]

تخيل مجموعة مؤلفة من أربع قطع دائرية وقطعة مربعة، كما توضح الصورة المرافقة. إذا قال شخص إن كل القطع دائرية، فالإشارة إلى المربع تنقض كلامه عن هذه المجموعة. أما عرض قطعة دائرية أخرى فلا يعالج الاعتراض، لأن الادعاء شمل المربع أيضًا. المسألة ليست تصويتًا تختار فيه الشكل الذي يظهر أكثر من غيره.

انتبه إلى أن اللون ليس سبب النقض في هذا المثال. لو كان المربع بلون الدوائر نفسه لبقي مخالفًا للصفة المطلوبة، ولو كانت إحدى الدوائر زرقاء لبقيت دائرية. لذلك حدد الخاصية التي تتناولها الجملة قبل البحث عن الاختلافات. وجود اختلاف في صفة لم تذكرها العبارة لا يكفي للحكم بأنها خاطئة.

كذلك يتغير السؤال عندما يتغير وصف المجموعة. قول «كل القطع الدائرية في المجموعة دائرية» لا ينقضه المربع، لأنه ليس من القطع التي تتحدث عنها الجملة أصلًا. المثال بسيط، لكنه يكشف خطأ شائعًا: العثور على حالة مخالفة في النتيجة مع تجاهل أنها مستبعدة من المجال أو من الشرط الذي بدأ به الكلام.

لماذا لا تكفي الأمثلة المؤيدة لإثبات التعميم؟

تفرق ملاحظات معهد ماساتشوستس للتقنية بين البرهان القائم على استدلال منطقي وتجربة عدد من الحالات. قد تساعد التجارب على تخمين قاعدة، لكنها لا تثبت وحدها أن القاعدة صحيحة لكل قيمة في مجال غير مفحوص بالكامل. ولهذا ينبغي الفصل بين عبارة «نجحت الحالات التي جربتها» وعبارة «نجحت جميع الحالات الممكنة». [٢]

جرب الادعاء الآتي: «مربع كل عدد حقيقي موجب أكبر من العدد نفسه». عند اختيار اثنين نحصل على أربعة، وعند اختيار ثلاثة نحصل على تسعة، وعند اختيار أربعة نحصل على ستة عشر. هذه الحسابات صحيحة، لكنها تترك أعدادًا موجبة كثيرة لم تدخل التجربة، منها الأعداد الواقعة بين الصفر والواحد.

اختر ثلثًا بدل عدد صحيح كبير. مربع الثلث هو تسع، والتسع أصغر من الثلث لأن الثلث يساوي ثلاثة أتساع. إذن تحقق شرط الإيجابية، لكن المقارنة المطلوبة فشلت. لا نحتاج إلى إنكار الحسابات السابقة؛ فهي تظل صحيحة للحالات التي تخصها، بينما يسقط الادعاء الذي جمعها مع جميع الأعداد الموجبة الأخرى.

إذا كان المجال مجموعة منتهية محددة، فقد يكون فحصها بالكامل كافيًا. على المجموعة التي لا تحتوي إلا اثنين وثلاثة وأربعة، حسبنا مربع كل عنصر وأثبتنا المقارنة لكل عناصرها. الفرق ليس عدد التجارب وحده، بل اكتمالها بالنسبة إلى المجال. ثلاثة فحوص تغطي مجموعة من ثلاثة عناصر، ولا تغطي جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

كيف يؤثر مجال المسألة في صلاحية المثال؟

اكتب المجال بجوار الادعاء قبل التعويض. في المثال السابق كان الثلث مقبولًا لأن الكلام عن الأعداد الحقيقية الموجبة. أما إذا أصبحت العبارة «مربع كل عدد صحيح أكبر من واحد أكبر منه»، فلا يمكن استعمال الثلث لنقضها؛ فهو ليس عددًا صحيحًا أكبر من واحد. بقاء المقارنة خاطئة عنده لا يجعله تابعًا للمجال الجديد.

ولفهم النسخة الجديدة، سمِّ العدد الصحيح نونًا. إذا كان أكبر من واحد فهو على الأقل اثنان، ولذلك يكون نون ناقص واحد موجبًا. الفرق بين مربعه وبينه يساوي نونًا مضروبة في نون ناقص واحد. العاملان موجبان، فالفرق موجب، وهذا يثبت أن المربع أكبر من العدد على المجال المحدد دون تعداد أفراده واحدًا واحدًا.

ماذا عن الواحد؟ مربعه يساويه، ولذلك ينقض ادعاء الزيادة الصارمة على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة. لكنه لا ينقض النسخة التي اشترطت أن يكون العدد أكبر من واحد. لاحظ الفرق بين «أكبر من» و«أكبر من أو يساوي»؛ إضافة المساواة تغير قبول القيمة الحدية، وقد تغير صحة العبارة كلها.

ولا تستبدل المجال بعد رؤية النتيجة دون التصريح بذلك. يمكن اقتراح تعديل يجعل الادعاء صحيحًا، لكن هذا عمل جديد. اكتب أولًا أن العبارة الأصلية خاطئة مع مثالها المضاد، ثم اعرض النسخة المعدلة وبرهانها إن كان ذلك مطلوبًا. حذف القيم المزعجة بصمت يجعل القارئ يظن أنك أثبتت عبارة أوسع مما عالجته فعلًا.

كيف تنقض عبارة تبدأ بشرط؟

في العبارة الشرطية، يوضح كتاب البرهان أن الحالة الناقضة تحقق المقدمة ولا تحقق النتيجة. الحالة التي تفشل فيها المقدمة لا تؤدي هذا الدور؛ لذلك افحص الجزأين منفصلين قبل اعتماد المثال. [١]

لنفحص الجملة: «إذا كان العدد الصحيح الموجب يقبل القسمة على أربعة، فإنه يقبل القسمة على ثمانية». العدد اثنا عشر يحقق المقدمة، لأن اثني عشر يساوي أربعة مضروبة في ثلاثة. لكنه لا يحقق النتيجة، لأن قسمته على ثمانية تعطي واحدًا ونصفًا، لا عددًا صحيحًا. إذن يصلح مثالًا مضادًا للجملة الشرطية.

أما عشرة فلا تصلح هنا، مع أنها لا تقبل القسمة على ثمانية. السبب أنها لا تقبل القسمة على أربعة أيضًا، فلا تدخل ضمن الأعداد التي وعدت الجملة بإثبات النتيجة لها. وفي المقابل، يحقق ستة عشر الطرفين، فيكون حالة موافقة لا حالة ناقضة. يجمع الجدول هذه الاحتمالات لتوضيح اختلاف أدوارها.

العدد	يقسم على ٤ بلا باقٍ	يقسم على ٨ بلا باقٍ	دوره
١٠	لا	لا	خارج الشرط
١٢	نعم	لا	مثال مضاد
١٦	نعم	نعم	حالة موافقة

ولا تخلط الجملة بعكسها. القول إن كل مضاعف لثمانية هو مضاعف لأربعة صحيح، لأن ثمانية مضروبة في عدد صحيح تساوي أربعة مضروبة في ضعف ذلك العدد. لكن إثبات العكس لا يثبت الجملة الأولى. قبل كتابة الحل، اقرأ اتجاه الانتقال من المقدمة إلى النتيجة بصوت منخفض أو ضع خطًا تحت كل جزء.

هل نقض «كل» يعني إثبات «لا شيء»؟

ارجع إلى مجموعة القطع: وجود مربع واحد جعل جملة «كل القطع دائرية» خاطئة. لكنه لم يجعل جملة «لا توجد قطعة دائرية» صحيحة؛ فأمامنا أربع دوائر. النتيجة الدقيقة هي أن قطعة واحدة على الأقل ليست دائرية. زيادة النفي من حالة مخالفة إلى جميع الحالات تغير المعنى وتنتج ادعاء لا يبرره المثال.

وبالطريقة نفسها، الثلث الذي خالف مقارنة العدد بمربعه لا يجعل كل الأعداد الموجبة مخالفة. الاثنان ما زال مربعُه أكبر منه. لذلك تجنب الخاتمة المتسرعة «إذن العكس صحيح دائمًا». ما أثبته الحساب هو فشل التعميم الأول، وقد توجد بعد ذلك حالات تحقق المقارنة وأخرى تعكسها وثالثة تتحقق عندها المساواة.

العبارة الوجودية لها مطلب مختلف. إذا قلت «يوجد عدد صحيح مربعه أربعة وستون»، فإن تجربة ثلاثة والحصول على تسعة لا تنقضها. الجملة لم تدّعِ أن ثلاثة هو الحل، بل ادعت وجود حل ما. اختيار ثمانية يحققها، وكذلك سالب ثمانية. فشل قيمة واحدة لا يلغي وجود قيمة أخرى مناسبة داخل المجال.

عند قراءة السؤال، ضع دائرة حول الكلمات التي تحدد مدى الادعاء: كل، يوجد، لا يوجد، أو إذا. ثم أعد صياغته بلغة بسيطة قبل الحساب. في تمرين الأربعة والستين، يكفي العثور على حل لإثبات الوجود. أما لإثبات عدم الوجود فستحتاج إلى حجة تستبعد جميع القيم المسموحة، لا قائمة قصيرة من المحاولات الفاشلة.

كيف تكتب حلًا واضحًا للمثال المضاد؟

يقترح عرض أوسكار ليفين للبراهين النظر إلى جانبين مترابطين: بنية الاستدلال ومحتواه الرياضي. فقد يكون الحساب صحيحًا لكنه لا يخدم النتيجة المطلوبة، أو تكون فكرة الحل مناسبة ويقع خطأ في تنفيذها. لذلك راجع ما حسبته وما يثبته ذلك الحساب، ولا تكتفِ بفحص الأرقام وحدها. [٣]

يمكن صياغة حل مثال القسمة في ثلاثة أسطر مترابطة: نختار اثني عشر، وهو عدد صحيح موجب يقبل القسمة على أربعة. لكنه لا يقبل القسمة على ثمانية لأن ناتج القسمة واحد ونصف. لذلك فالعبارة التي تجعل كل مضاعف لأربعة مضاعفًا لثمانية خاطئة. كل سطر يؤدي وظيفة، ولا يترك للقارئ تخمين الشرط الذي تحقق.

إذا أخطأت في القسمة ثم وصلت مصادفة إلى حكم صحيح، صحح الحساب أيضًا. مثلًا، كتابة أن اثني عشر على ثمانية يساوي اثنين ليست خطوة مقبولة في هذا الحل. المقصود ليس وضع علامة «خطأ» بجوار العبارة بأي طريق، بل تقديم سبب يستطيع شخص آخر التحقق منه وإعادة تطبيقه على المسألة نفسها.

واختر حالة بسيطة عندما تتوفر عدة حالات. العدد اثنا عشر هنا سهل الفحص ولا يحتاج إلى آلة حاسبة. لا تضف أعدادًا كبيرة لتبدو الإجابة أقوى؛ مثال واحد مستوفٍ للشروط ينجز النقض. وإذا لم تجد مثالًا، فاكتب أن البحث لم يحسم الأمر بعد، ثم انتقل إلى تحليل العبارة بدل اعتبار عجزك عن النقض برهانًا لها.

تمارين محلولة لاختبار الفكرة

التمرين الأول: «كل عدد صحيح أكبر من عشرة يقبل القسمة على ثلاثة». اختر أربعة عشر؛ فهو عدد صحيح أكبر من عشرة، لكن قسمته على ثلاثة تترك باقيًا مقداره اثنان. تحقق المجال وفشلت النتيجة، فالادعاء خاطئ. اختيار تسعة لن يكون صالحًا للنقض، لأنه خارج المجال أصلًا، فضلًا عن قبوله القسمة على ثلاثة.

التمرين الثاني: «مجموع أي عددين حقيقيين موجبين أكبر من حاصل ضربهما». اختر أربعة وخمسة؛ كلاهما موجب، ومجموعهما تسعة، بينما حاصل ضربهما عشرون. بما أن تسعة ليست أكبر من عشرين، فهذا الزوج ينقض العبارة. لا يكفي كتابة أربعة وحدها، لأن الحالة التي تتطلبها المسألة تتكون من عددين، ويجب تحديدهما معًا.

التمرين الثالث: «يوجد عدد صحيح إذا ضرب في اثنين كان الناتج ثمانية عشر». تجربة أربعة تعطي ثمانية، لكنها لا تنقض عبارة الوجود. اختر تسعة لتحصل على ثمانية عشر، وبذلك تثبت العبارة. قارن هذا السؤال بقول «كل عدد صحيح إذا ضرب في اثنين أعطى ثمانية عشر»؛ هذه صيغة مختلفة وتنقضها الأربعة فعلًا.

بعد الحل، اسأل نفسك عن ثلاثة أمور: هل اخترت حالة من المجال؟ وهل تحققت كل الشروط السابقة للنتيجة؟ وهل بينت بدقة كيف فشلت النتيجة أو تحققت؟ هذه المراجعة القصيرة تمنع الخلط بين مثال مؤيد ومثال مضاد، وتساعدك على كتابة نقض كامل دون إطالة قائمة التجارب أو تغيير السؤال الذي بدأت منه.

المصادر ومتابعة القراءة

أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.