إزالة الاتجاه الخطي: لماذا لا يكفي طرح المتوسط؟

طرح المتوسط يترك الميل

تزيل detrend(A,0) المتوسط، بينما تزيل detrend(A,1) الاتجاه الخطي. [1]

نختار أربع قيم حقيقية منتهية y=[2,3,8,9] عند t=[0,1,2,3]، بلا وحدة مادية محددة. جميع النقاط متساوية الوزن. لا نستخدم قيمًا مفقودة أو تقسيمًا إلى مقاطع في هذا المثال.

مجموع القيم 22، ومتوسطها 22/4=11/2. طرح المتوسط يعطي [−7/2,−5/2,5/2,7/2]؛ مجموع هذه القيم صفر. لكن البداية والنهاية ما زالتا تختلفان بمقدار 7 كما في الأصل.

لنسمِّ الخط المرشح a+bt. بعد طرح ثابت c من كل قيمة، يتحول أي خط a+bt إلى (a−c)+bt، وتبقى الفروق عن الخط كما هي. لذلك لا يتغير الميل الأفضل بالمربعات الصغرى عند طرح ثابت واحد؛ لا يعني متوسط صفر أن الميل صفر.

احسب الخط والبواقي ثم افحص الحد الأدنى

نعرّف هدفنا صراحة: S(a,b)=Σᵢ(yᵢ−a−btᵢ)². اشتقاقه بالنسبة إلى a وb يعطي شرطي مجموع البواقي صفر ومجموع tᵢ مضروبًا في البواقي صفر. لا نستخدم عقوبة على الميل أو ثابتًا مفروضًا من خارج السجل.

في بياناتنا Σt=6 وΣt²=14 وΣy=22 وΣty=46. لذلك تصبح المعادلتان 4a+6b=22 و6a+14b=46. نطرح ثلاثة أنصاف الأولى من الثانية، فنحصل على 5b=13، أي b=13/5؛ ثم a=8/5.

قيم الخط عند الإحداثيات الأربع هي [8/5,21/5,34/5,47/5]. نطرحها من القيم الأصلية، فتكون البواقي e=[2/5,−6/5,6/5,−2/5]. مجموعها صفر، ومجموع tᵢeᵢ=0−6/5+12/5−6/5=0.

مجموع مربعاتها (4+36+36+4)/25=80/25=16/5. أما القيم بعد طرح المتوسط فقط، فمجموع مربعاتها (49+25+25+49)/4=37. هذا انخفاض في هدف الملاءمة المعلن، وليس تقديرًا لدقة قياس حقيقي.

لإثبات أن الحل أدنى لا مجرد نقطة ذات مشتقات صفرية، غيّر المعاملين إلى a+da وb+db. تصبح البواقي eᵢ−da−dbtᵢ. عند توسيع مجموع مربعاتها، تختفي الحدود المختلطة مع e بسبب شرطي المجموعين الصفريين.

تبقى الزيادة Σ(da+dbtᵢ)²=4da²+12da·db+14db²=4(da+3db/2)²+5db². إنها غير سالبة، وتساوي صفرًا فقط عند da=db=0؛ لذلك يكون الخط الذي حسبناه الحل الوحيد الأدنى لهذا السجل.

بعد طرح المتوسط وحده يتغير ثابت الخط من 8/5 إلى 8/5−11/2=−39/10، ويبقى الميل 13/5. هذا يختبر حسابيًا الفرق بين التمركز وإزالة الميل.

البواقي لا تحفظ كل معلومات الأصل

اختر سجلًا آخر مستقلًا [2,5,8,11] عند الإحداثيات نفسها. إنه الخط 2+3t بالضبط؛ بواقيه بعد طرح ذلك الخط كلها صفر. مع ذلك، قيم الأصل كانت متزايدة، ولم يثبت الحساب أن زيادتها عيب في جهاز.

وفي مثالنا الأساسي أضف إلى كل قيمة المقدار 10−2t. يصبح السجل [12,11,14,13]. خطه الأفضل هو (8/5+10)+(13/5−2)t، أي 58/5+3t/5، وبواقيه هي e نفسها.

السبب عام على الإحداثيات والأوزان نفسها: إضافة خط إلى البيانات وإضافته إلى أي خط مرشح تترك فروق البيانات عنه كما هي. لذا تنتقل الملاءمة بمقدار الخط المضاف، وتبقى البواقي. لا يكشف السجل المتبقي وحده أي أصل من هذه الأصول أنت استخدمت.

يمكن استعادة بيانات المثال إذا حفظنا البواقي ومعاملات الخط وإحداثياته: yᵢ=eᵢ+a+btᵢ. أما حفظ البواقي وحدها فيحذف المعلومات عن الثابت والميل اللذين طرحناهما. نحتفظ بالأصل أيضًا عندما يكون هدف المراجعة معرفة ما تغير.

الإطار والهدف يحددان معنى التحويل

يفصل مرجع الإشارات بين إزالة اتجاه خطي وملاءمة كثير حدود لاتجاه غير خطي. [2]

إذا أخذنا أول نقطتين من مثالنا فقط، فهما [2,3] عند t=[0,1]. الخط 2+t يمر بهما تمامًا، فالباقيان صفر. لكن بعد ملاءمة النقاط الأربع كان الباقيان الأولان 2/5 و−6/5. لم تتغير النقطتان؛ تغيرت البيانات الداخلة في الملاءمة.

لذلك لا نقطع السجل إلى دفعات ونلائم كل دفعة ثم نفترض تطابقها مع ملاءمة السجل كله. حتى اختيار عدد النقاط هنا غير معنى الباقي. سجّل حدود الإطار وإحداثياته وطريقة الوزن مع المعاملات.

إذا أعدنا ملاءمة خط لبواقي السجل الكامل e، فمجموع e ومجموع tᵢeᵢ صفران. المعادلتان الجديدتان 4a+6b=0 و6a+14b=0 تعطيان a=b=0، فلا يتغير e عند تكرار العملية في الحساب الدقيق.

هذا الثبات لا يثبت أن كل اتجاه غير خطي اختفى أو أن الناتج ضوضاء نقية. الذي أثبتناه هو شرطا الملاءمة الخطية على الإطار المعلن. قد يكون الجزء الخطي نفسه معلومات نريد حفظها؛ نختار ما نطرحه وفق سؤال التحليل.

جميع الأعداد افتراضية والحساب مستقل. لم نشغّل detrend ولم نقس إشارة طبية أو جهازًا. ولا ننقل إعدادًا افتراضيًا من دالة تحمل الاسم نفسه لنوع بيانات آخر؛ نقرأ تعريف المدخل وطريقة الطرح قبل مقارنة النتائج.