الرباعي الكامل: ثلاثة منتصفات أقطار على مستقيم واحد

الخلاصة السريعة

يتكون الرباعي الكامل من أربعة مستقيمات لا تتلاقى ثلاثة منها في نقطة واحدة، مع تقاطعاتها الستة. له ثلاثة أقطار، ومنتصفاتها تقع على مستقيم واحد. [1] نحسب هنا جميع التقاطعات منتهية ومختلفة؛ الأقطار تصل تقاطعات متقابلة لا تشترك في أحد المستقيمات الأربعة، ولا تخص مضلعًا عاديًا ذا أربعة رؤوس فقط.

• سم المستقيمات L₁ و L₂ و L₃ و L₄. التقاطعات A=L₁∩L₂، B=L₁∩L₃، C=L₁∩L₄، D=L₂∩L₃، E=L₂∩L₄، F=L₃∩L₄. في المثال A=(0,0)، B=(0,1)، C=(0,1/3)، D=(1,0)، E=(1/2,0)، F=(2,−1).
• الأزواج المتقابلة هي AF و BE و CD. كل زوج يستعمل المستقيمات الأربعة دون تكرار؛ مثلًا A تخص L₁ و L₂، و F تخص L₃ و L₄. أما B و D فتشتركان في L₃، فلا تشكل BD القطر المقابل الذي يحل محل BE.
• منتصفات AF و BE و CD هي M=(1,−1/2)، N=(1/4,1/2)، T=(1/2,1/6). عند التعويض في 8x+6y−5=0 نحصل على 0 في الحالات الثلاث. لا نفترض تساوي أطوال الأقطار أو مرور المستقيم بمنطقة داخل مضلع.
• في الأسرة x=0 و y=0 و x+y=1 و ux+vy=1، تقع المنتصفات على 2u(v−1)x+2v(u−1)y+1−uv=0. تثبت متطابقات التعويض النتيجة للأسرة، مع استبعاد القيم التي تجعل التقاطعات متوازية أو متطابقة.
• إذا أخذنا N′=(1/2,1/2) منتصف BD بدل BE، أعطت معادلة المنتصفات الباقي 2. محدد متجهي MN′ و MT يساوي 1/6، ومساحة مثلث MN′T هي 1/12، فتفشل استقامة النقاط المختارة دون تغيير المستقيمات الأصلية.
• التكبير بعامل 2 يعطي معادلة 8x+6y−10=0، والإزاحة بمقدار (2,−1) تعطي 8x+6y−15=0. وعند u=v=2 يتوازى المستقيمان x+y=1 و 2x+2y=1، فلا توجد F المنتهية.

أربعة مستقيمات وستة تقاطعات

الرباعي الكامل بناء من أربعة مستقيمات وتقاطعاتها الستة، بشرط ألا تلتقي ثلاثة مستقيمات في نقطة واحدة. منتصفات أقطاره الثلاثة مستقيمة. [1] نحصر المثال في تقاطعات مختلفة ومنتهية؛ لذلك لا نبدأ بمستقيمين متوازيين أو بثلاثة مستقيمات متلاقية.

هذا البناء يختلف عن المضلع الرباعي المعتاد: الأخير يحدده أربعة رؤوس وأربعة أضلاع حول حد مغلق، وله قطران. هنا نستعمل أربع خطوط كاملة، وتنتج ست نقاط من الأزواج الستة. كلمة «أربعة» تعد المستقيمات في هذا الوصف، ولا تلغي نقطتي التقاطع الإضافيتين.

اختر L₁ على x=0، و L₂ على y=0، و L₃ على x+y=1، و L₄ على 2x+3y=1. عند تقاطع L₁ و L₂ نحصل على A=(0,0)، وهي لا تقع على L₃ أو L₄. وعند تقاطع L₁ و L₃ نحصل على B=(0,1)، بينما L₄ يمر على محور y عند C=(0,1/3).

على محور x، نجد D=(1,0) من L₂ مع L₃، و E=(1/2,0) من L₂ مع L₄. ولإيجاد F، نحل x+y=1 و 2x+3y=1: طرح ضعفي الأولى من الثانية يعطي y=−1، ثم x=2. إذن F=(2,−1).

الست نقاط مختلفة، ولا يوجد تلاق ثلاثي. يحدد الحساب مثلًا أن L₄ لا يمر بـ B أو D؛ فقيم 2x+3y عندهما 3 و 2، لا 1. الصورة تعرض خطوطًا ممتدة، ولا نساوي البناء بمنطقة مظللة واحدة تحتاج مساحة.

اختر التقاطعات المتقابلة قبل أخذ المنتصفات

نعرف A بوصفها تقاطع L₁ و L₂، و F بوصفها تقاطع L₃ و L₄. هاتان النقطتان لا تشتركان في أحد المستقيمات الأربعة؛ وصلهما يعطي القطر AF. بالطريقة نفسها يكون BE بين تقاطعي L₁ مع L₃ و L₂ مع L₄، ويكون CD بين تقاطعي L₁ مع L₄ و L₂ مع L₃.

يمكن كتابة أزواج أرقام المستقيمات: (12,34)، (13,24)، (14,23). كل اختيار يقسم المستقيمات الأربعة إلى زوجين منفصلين. هذه طريقة لتذكر الأقطار الثلاثة دون الاعتماد على معنى «متقابلتين» في صورة مزدحمة أو على اختيار أربعة رؤوس فقط.

منتصف نقطتين يحسب بمتوسط إحداثيي كل منهما. على AF نحصل على M=((0+2)/2,(0−1)/2)=(1,−1/2). وعلى BE نحصل على N=((0+1/2)/2,(1+0)/2)=(1/4,1/2). وعلى CD نجد T=((0+1)/2,(1/3+0)/2)=(1/2,1/6).

لا تعني الأقطار هنا أقطار دوائر، ولا يفترض البناء أن طول AF يساوي BE أو CD. المطلوب أخذ النصف من كل قطعة محددة بطرفيها، ثم اختبار علاقة مواضع المنتصفات الثلاثة.

أما BD فتصل B=L₁∩L₃ إلى D=L₂∩L₃، فتقع القطعة كلها على L₃. تشترك النقطتان في مستقيم من البناء، ولذلك لا يحل منتصف BD محل منتصف BE في قائمة الأقطار المتقابلة. سنحسب أثر هذا الاختيار الخاطئ بعد إثبات الحالة الصحيحة.

استخرج معادلة مستقيم المنتصفات

من M=(1,−1/2) إلى N=(1/4,1/2)، فرق x هو −3/4 وفرق y هو 1. الميل إذن −4/3. باستعمال M، نحصل على y+1/2=(−4/3)(x−1)، وهي تكافئ 8x+6y−5=0.

عند M، الطرف الأيسر 8−3−5=0. وعند N، نحصل على 2+3−5=0. وعند T، يكون 4+1−5=0. البواقي في الجدول تخص هذه المعادلة الواحدة، ولا تشير إلى طول الأقطار أو إلى مساحة شكل.

النقاط الثلاث مختلفة، فتحدد M و N مستقيمًا، ويؤكد التعويض وقوع T عليه. كذلك متجها MN=(−3/4,1) و MT=(−1/2,2/3) لهما المحدد −1/2+1/2=0. لهذا تكون مساحة مثلث MNT صفرًا.

يمر مستقيم المنتصفات في أماكن تختلف عن مواضع التقاطعات الستة الأصلية. لا يشترط أن يكون أحد المستقيمات الأربعة، ولا أن يمر بمنتصف كل قطعة بين أي نقطتين من الرسم. لونه البنفسجي في الصورة يميزه عن خطوط البناء وعن الأقطار الثلاثة.

متطابقة لأسرة ذات معاملين

نبقي L₁ و L₂ و L₃ كما هي، ونأخذ L₄ على ux+vy=1. نختار u و v غير صفريين، ومختلفين، ولا يساوي أي منهما 1. عندئذ C=(0,1/v)، E=(1/u,0)، F=((1−v)/(u−v),(u−1)/(u−v))، بينما A و B و D تبقى كما كانت.

تصبح المنتصفات M=((1−v)/(2(u−v)),(u−1)/(2(u−v)))، N=(1/(2u),1/2)، T=(1/2,1/(2v)). تقع على 2u(v−1)x+2v(u−1)y+1−uv=0. المعاملان الأولان غير صفريين في المجال المختار، لذلك المعادلة تمثل مستقيمًا حقيقيًا.

عند N، يتبقى (v−1)+v(u−1)+1−uv، وتلغي الحدود بعضها: v−1+uv−v+1−uv=0. وعند T، يتبقى u(v−1)+(u−1)+1−uv، وهو أيضًا 0 بعد التوزيع.

عند M، نضرب الباقي في u−v، وهو غير صفر. نحصل على مجموع ثلاثة حدود: u(v−1)(1−v)، و v(u−1)²، و (1−uv)(u−v). توزيعها يعطي −uv²+2uv−u، ثم u²v−2uv+v، ثم u−v−u²v+uv²؛ مجموعها صفر.

إذن التعويض يثبت الاستقامة لجميع قيم المعاملين في مجال هذه الأسرة، لا للقيمتين u=2 و v=3 فقط. هذه المتطابقة برهان للبناء الإحداثي المحدد؛ صياغة الرباعي الكامل العامة مستندة إلى المصدر، ولا ننسب إلى الحسابات الكسرية وحدها برهانًا أوسع من مجالها.

مثلًا عند u=2 و v=1/2، تصبح معادلة المستقيم −2x+y=0. المنتصفات M=(1/6,1/3)، N=(1/4,1/2)، T=(1/2,1) تحققها، ويمر المستقيم هذه المرة بـ A=(0,0). وقوع أحد التقاطعات الأصلية على مستقيم المنتصفات ممكن، لكنه ليس لازمًا في المثال الأول.

منتصف قطعة أخرى لا يحافظ على النتيجة

نبقي المستقيمات الأربعة والتقاطعات الستة كما هي، ثم نستبدل N منتصف BE بالنقطة N′ منتصف BD. لأن B=(0,1) و D=(1,0)، تكون N′=(1/2,1/2). يبقى M و T صحيحين، لكن النقطة الثالثة أخذت من قطعة ليست القطر BE.

في معادلة 8x+6y−5=0، تعطي N′ الباقي 4+3−5=2. إذن لا تقع على مستقيم M و T. الحفاظ على كون النقطة منتصفًا لا يكفي؛ يجب أيضًا أن تكون منتصف القطر المطلوب.

نكتب MN′=(−1/2,1) و MT=(−1/2,2/3). محددهما (−1/2)×(2/3)−1×(−1/2)=1/6. مساحة مثلث MN′T هي نصف القيمة المطلقة، أي 1/12. يقارن الجدول هذه المساحة بالمساحة 0 للمنتصفات الصحيحة.

يميز الرسم المقارن BE الزرقاء في الحالة الصحيحة، ويعرض BD بدلها في الحالة المعدلة. تبقى الخطوط الأربعة والتقاطعات M و T في مواضعها؛ التغيير في زوج الطرفين الذي نأخذ منه المنتصف، لا في هندسة الخطوط الأصلية.

هذا المثال يكشف خطأ اختيار القطر. لا يقول إن كل ثلاثة منتصفات أخرى ستفشل حتمًا، ولا يغير المبرهنة نفسها. إذا بدا خط في صورة يمر بنقطة قريبة من N′، فراجع أسماء الأطراف وحساب المتوسطات قبل الاستنتاج.

التكبير والإزاحة وحدود شروط البناء

عند تكبير المثال الصحيح بعامل 2، تصبح M=(2,−1)، N=(1/2,1)، T=(1,1/3). معادلة مستقيمها 8x+6y−10=0. ضرب الإحداثيات في 2 يضاعف الأطوال، ويحفظ علاقات المنتصف والاستقامة؛ ثابت المعادلة يتغير ليلائم المواضع الجديدة.

وعند العودة إلى الحجم الأصلي وإزاحة جميع النقاط بمقدار (2,−1)، تصبح M=(3,−3/2)، N=(9/4,−1/2)، T=(5/2,−5/6). معادلة المستقيم 8x+6y−15=0، لأننا نعوض x−2 و y+1 في المعادلة القديمة. متوسط طرفين مزاحين يعطي المنتصف المزاح نفسه.

في الأسرة، تمنع u=0 أو v=0 أحد التقاطعين E أو C المنتهيين. وعند u=v، يصبح L₄ موازيًا لـ L₃ إذا كان المعامل المشترك مختلفًا عن 1؛ مثلًا x+y=1 و 2x+2y=1 لا يتقاطعان في F. عند u=v=1 يتطابق المستقيمان، وهو أيضًا خارج البناء المختار.

أما v=1 مع u=2 فتجعل L₁ و L₃ و L₄ تتلاقى عند (0,1). تصبح B و C و F نقطة واحدة، فتختفي الست نقاط المختلفة التي بدأنا بها. وبالمثل u=1 يعطي تلاقيًا على محور x. لا نزعم أن أي حالة منحلّة تفقد كل استقامة ممكنة؛ نقول إنها تحتاج وصفًا وشروطًا مختلفة.

قبل تطبيق النتيجة، احسب التقاطعات الستة وتحقق من اختلافها، ثم عين أزواج المستقيمات التي تحدد كل رأس. اختر الأزواج المتقابلة دون مستقيم مشترك، واحسب منتصفات أقطارها. بعدها اختبر معادلة واحدة أو محددًا، وميز منتصفات الأقطار من منتصفات الأضلاع في مضلع عادي.