المدى العددي للمصفوفة: قرص كامل وقيمة ذاتية واحدة

ابدأ بالمنقول المرافق ومتجه الوحدة

للمتجه المركب z، مربع طوله الإقليدي z*z=Σ|zᵢ|². [3] لذلك مقام التعريف موجب متى z≠0. كتابة z* تعني نقل المتجه ومرافقة كل مركبة مركبة.

إذا وضعنا u=z/||z||₂، صار u*u=1، وz*Az/(z*z)=u*Au؛ فالضرب في عامل التطبيع يلغي المقام. هذا حساب مباشر يبرر الاكتفاء بمتجهات الوحدة.

خذ A=[[1,8],[0,1]]؛ الفواصل بين المجموعات تفصل الصفوف. لمتجه u=(u₁,u₂) بطول1، نحصل على Au=(u₁+8u₂,u₂)، ثم u*Au=|u₁|²+|u₂|²+8ū₁u₂=1+8ū₁u₂.

اختبر u=(1,i)/√2، حيث i²=−1. يكون u*=(1,−i)/√2، وu*u=(1+(−i)i)/2=1، وu*Au=(1+8i+(−i)i)/2=1+4i.

لو استعملنا uᵀ بدل u*، لكان uᵀu=(1+i²)/2=0، رغم أن u غير صفري. المرافقة هنا ضرورية حتى يمثل المقام مربع الطول.

أثبت القرص من الداخل والخارج

القيم الذاتية ضمن W(A): من Av=λv ينتج v*Av/(v*v)=λ. [1] سنجد في مثالنا قيمًا أخرى خارجهـا.

في مثالنا det(λI−A)=(λ−1)²، فلا توجد قيمة ذاتية أخرى غير1. مع ذلك ظهرت القيمة1+4i في الحساب السابق؛ وهي ليست قيمة ذاتية.

ضع a=|u₁| وb=|u₂|. لدينا a²+b²=1، ومن(a−b)²≥0 ينتج2ab≤1. لذلك |8ū₁u₂|=8ab≤4، فتقع كل قيمة w=u*Au في |w−1|≤4.

لإثبات أن القرص كامل، لا مجرد حد أعلى، اختر u=(cosθ,e^(iφ) sinθ)، حيث0≤θ≤π/4 وφ زاوية حقيقية. طوله1، وقيمته1+8cosθ sinθ e^(iφ)=1+4sin(2θ)e^(iφ).

حين تتحرك θ من0 إلىπ/4، يغطي4sin(2θ) كل نصف قطر ρ بين0 و4. وتختار φ أي اتجاه حول المركز1. إذن كل نقطة1+ρe^(iφ)، بما فيها المركز والحافة، تتحقق بمتجه من هذه الأسرة.

ثبتنا الاحتواء في الاتجاهين: W(A)={w: |w−1|≤4}. الرسم يعرض القرص كله؛ الدائرة المحيطة حدوده، والنقطة عند1 تمثل القيمة الذاتية المكررة.

المتجهات الحقيقية تعطي فترة

للمصفوفة الهيرميتية، أصغر وأكبر قيمة لخارج رايلي هما أصغر وأكبر قيمتين ذاتيتين. ينطبق ذلك أيضًا على المصفوفات الحقيقية المتناظرة. [2]

إذا كان u=(p,q) حقيقيًا وطوله1، فإن uᵀAu=1+8pq. من −1/2≤pq≤1/2، يقع الناتج بين−3 و5؛ يتحقق5 عند u=(1,1)/√2، و−3 عند u=(1,−1)/√2.

وبكتابة(p,q)=(cosθ,sinθ)، يكون الناتج1+4sin(2θ). تغير الزاوية يغطي كل الفترة[−3,5]. هذه جميع القيم من المتجهات الحقيقية؛ لكنها لا تنتج القيمة غير الحقيقية1+4i.

نحسب H=(A+Aᵀ)/2=[[1,4],[4,1]]. نجد H(1,1)=5(1,1)، وH(1,−1)=−3(1,−1)؛ وهذان اتجاهان مستقلان، فالقيمتان5 و−3.

ولمتجه مركب بطول1، ‏Re(u*Au)=u*Hu: مرافق العدد u*Au هوu*Aᵀu لأن A حقيقية، ومتوسط العدد ومرافقه يعطي جزأه الحقيقي. ومن حدّي خارج رايلي لـH، يقع الجزء الحقيقي بين−3 و5. [1][2]

هذا يوافق امتداد القرص أفقيًا من1−4 إلى1+4. قيمتا H تحددان حدين للجزء الحقيقي؛ لا نحولهما إلى قيمتين ذاتيتين لـA، التي بقيت قيمتها الذاتية1 فقط.

الصفر ونصفا القطر لا يقيسان الشيء نفسه

نصف القطر العددي r(A) هو أكبر |w| بين w∈W(A). ونصف القطر الطيفي ρ(A) أكبر مقدار لقيمة ذاتية. [1]

في القرص المحسوب، |w|≤|w−1|+1≤5. والقيمة w=5 تتحقق عند u=(1,1)/√2؛ إذن r(A)=5 بالضبط. أما القيمة الذاتية1 فتعطي ρ(A)=1.

حافة القرص تضم1+4i أيضًا، لكن مقدارها√17 أصغر من5. أقصى بعد عن المركز1 هو4، وأقصى بعد عن الأصل0 هو5؛ لذلك لا نخلط نصف قطر القرص المرسوم بنصف القطر العددي.

الصفر يقع داخل القرص لأن|0−1|=1<4. ومع ذلك det(A)=1، ومعكوسها[[1,−8],[0,1]]؛ وضرب المصفوفتين يعطي I. وجود الصفر في W(A) لم يجعل A منفردة.

السبب أن u*Au=0 يصف عددًا ناتجًا من جداء داخلي، ولا يقول Au=0. لو كان الصفر قيمة ذاتية لوجد متجه غير صفري ترسله A إلى الصفر؛ وهذا لا يحدث لمصفوفتنا القابلة للعكس.

عند قراءة رسم المدى العددي، افصل المنطقة عن نقاط القيم الذاتية، وحدد هل المتجهات مركبة أم حقيقية. كل النتائج العددية هنا دقيقة لمثال2×2؛ لم نعتمد على سحابة نقاط تجريبية لتقرير أن المنطقة قرص كامل.