بروز القمة: لماذا نختار قاعدة أعلى ونافذة محددة؟

اختر أعلى القاعدتين

نبحث في الجانبين حتى حد المجال أو قمة أعلى، متجاوزين المساوية. نحدد أصغر قيمة بكل جانب ونختار الأعلى منهما؛ البروز فرق قيمة القمة عنه. [1]

نسمي قيمة القمة h، وأدنى قيمتي الجانبين L وR. نحسب b=max(L,R)، ثم P=h−b. نأخذ الأعلى من حدَّين أدنى، لا أكبر عينة بالسجل.

لنستخدم سبع قيم حقيقية منتهية بلا وحدة: x=[0,5,4,6,0,3,0]. الفهارس من صفر إلى 6. نختار القمم الداخلية عند 1 و3 و5؛ كل منها أعلى من جارَيه. لبدء المقارنة نثبت السجل كله مجالًا متاحًا للبحث، دون نافذة أصغر.

للقمة عند 1 وقيمتها 5، نصل يسارًا إلى صفر عند 0. يمينًا نمر بالقيمة 4 عند 2، ثم يوقفنا الاتجاه نحو القمة الأعلى ذات القيمة 6 عند 3. لذلك أدنى قيمة يمنى هي 4؛ لا نواصل إلى الصفر بعد القمة الأعلى.

القيمتان الأدنيان هما L=0 وR=4. نختار b=max(0,4)=4، ثم P=5−4=1. لو اخترنا الأدنى منهما، لحسبنا 5−0=5، وهو جواب آخر لا يتبع تعريفنا. جانب واحد فقط بلغ الصفر؛ أما الجانب الأيمن فلم ينخفض عن 4 ضمن نطاقنا.

ولا يشترط أن يكون الخط المحيط متوسط القاعدتين؛ متوسط صفر و4 هو 2، وكان سيعطي 5−2=3. في مثالنا تختار القاعدة المحددة 4، دون توسيط.

قمة أقصر وبروز أكبر

height يقيد قيمة القمة، وprominence يقيد بروزها. [2]

القمة عند 3 وقيمتها 6 لا تواجه قمة أعلى في سجلنا. أدنى الجانب الأيسر صفر عند 0، والأيمن صفر عند 4؛ الصفر الآخر عند 6 لا يغير المقدار. الخط المحيط صفر، فيكون البروز 6−0=6.

القمة عند 5 وقيمتها 3 لها صفران عند 4 و6. في اليسار يحد القمة الأعلى عند 3 استمرار البحث، لكننا بلغنا الصفر عند 4 قبلها. الخط المحيط max(0,0)=0، والبروز 3−0=3.

صار لدينا ثلاثيات الفهرس والقيمة والبروز: (1,5,1)، (3,6,6)، (5,3,3). بالمقارنة العددية، شرط القيمة h≥4 يقبل 1 و3. أما شرط البروز P≥2 فيقبل 3 و5. اخترنا الحدود بأنفسنا؛ ليست توصية لبيانات فعلية.

القمة ذات القيمة 3 أقصر من ذات القيمة 5، لكنها تبتعد عن خطها المحيط أكثر: 3>1. القيمة والبروز يجيبان عن سؤالين مختلفين؛ لا نرتب القمم بأحدهما ثم نفترض أن الترتيب الآخر مطابق.

وللمقارنة، الفروق المباشرة عن جارَي القمة عند 3 هي 6−4=2 و6−0=6؛ الأصغر 2. بروزها الكامل 6، لا 2، لأن البحث الأيسر يصل إلى الصفر عند 0 عبر القمة الأقصر. الاقتصار على الجار ليس البحث الكامل.

حدد نافذة البحث

wlen يحد البحث بنافذة حول القمة؛ يُرفع طولها إلى عدد فردي. [1]

نختار wlen=3 للقمة عند 3. العينات التي تسمح بها هذه النافذة هي 2 و3 و4، وقيمها [4,6,0]. أدنى اليسار 4 عند 2، وأدنى اليمين صفر عند 4؛ الخط المحيط 4، والبروز 6−4=2.

في البحث الكامل كان الأساس الأيسر صفرًا عند 0. النافذة القصيرة تستبعده؛ لم تغير قيمة القمة 6 أو قيم العينات. تغير المجال الذي يجيز البحث الوصول إليه، فزاد الخط المحيط من صفر إلى 4 ونقص البروز من 6 إلى 2.

تكبير النافذة قليلًا لا يضمن تغير النتيجة. مع خمس عينات، نبحث من 1 إلى 5؛ القيم [5,4,6,0,3]، وأدنى اليسار ما زال 4. يبقى البروز 2. مع سبع عينات، يصل المجال من 0 إلى 6 فيعود البروز 6.

يمكن تفسير اتجاه التغير بالمجموعات: عند تضييق المجال حول القمة نفسها، تكون العينات المتاحة بكل جانب مجموعة جزئية مما كان متاحًا، مع بقاء شرط التوقف عند قيمة أعلى. أصغر قيمة في مجموعة أصغر لا يمكن أن تقل. لذلك الأعلى من الحدين الأدنى لا يقل، وطرحه من h الثابتة لا يزيد البروز.

هذه حجة للحساب الدقيق والقمة نفسها وحدود البحث المحددة. ليس المطلوب جعل النافذة أكبر دائمًا؛ اكتبها مع النتيجة كي يعرف القارئ أي نطاق استخدمت. بروز محلي 2 وبروز كامل 6 هنا وصفان مختلفان للنطاق، لا اختلافًا في السجل.

راجع التساوي وحدود المثال

لإظهار شرط التساوي، اخترنا سجلًا مستقلًا [0,4,1,4,0]. قمته عند 1 لها قيمة 4، ومثلها القمة عند 3. مساواة الارتفاع لا تمنع البحث من مواصلة المرور إلى الصفر عند 4؛ وعلى اليسار صفر عند 0. بروز القمة الأولى 4−0=4، وللثانية النتيجة نفسها.

لو أوقفنا البحث خطأً عند القمة المساوية، لكانت القيمة 1 في الوادي بينهما أدنى ما نبلغه في أحد الجانبين؛ يصبح الخط المحيط 1 والبروز 3. لذلك يتغير العدد عند تحويل شرط أعلى إلى أعلى أو مساوٍ.

الأمثلة هنا قيم مفترضة بلا وحدة، ضمن سجل منتهٍ معروض بالكامل. لا بيانات مفقودة أو NaN أو قمم مسطحة. لم نقس إشارة أو ننفذ SciPy؛ الحساب وتعداد القواعد مستقلان. لا نساوي الفهرس بثانية، ولا البروز بطول موجي أو شدة صوت.

تحققنا من المثالين مباشرة، ومن توافق طريقتين للحساب على قمم داخلية صارمة في جميع القوائم الخماسية التي تتكون قيمها من 0 و1 و2. هذه مراجعة حسابية منتهية، لا برهان لكل سلوك الدالة أو لكل بيانات عائمة.

احفظ الفهرس وقيمة القمة والقاعدة على كل جانب والخط المحيط وطول النافذة. لم تختبر أمثلتنا نجاح كشف حدث فعلي أو إزالة ضوضاء؛ تغيير النافذة وحده لا يثبت تلك النتائج.