متباينة بطليموس: حاصل ضرب القطرين ومتى تتحقق المساواة

الخلاصة السريعة

حاصل ضرب القطرين لا يتجاوز مجموع حاصلَي ضرب الضلعين المتقابلين. في مستطيلنا الطرفان 169، وفي الرباعي الثاني حاصل ضرب القطرين 60√10 أصغر من 192، وهي قيمة مجموع حاصلَي الضرب.

• لرباعي محدب رؤوسه A,B,C,D بترتيب حدود الشكل، الصيغة AC×BD ≤ AB×CD+BC×DA. تتحقق المساواة إذا كانت الرؤوس على دائرة واحدة؛ وإلا تكون المقارنة صارمة. [1][2]
• المستطيل ذو الرؤوس (0,0)، (12,0)، (12,5)، (0,5) له قطران بطول 13. لذلك 13×13=12×12+5×5=169. العدد 169 ليس مساحة المستطيل؛ مساحته 60.
• غيّر C إلى (12,4) و D إلى (0,9). الأطوال المتتابعة 12 و 4 و 13 و 9، والقطران 4√10 و 15. مجموع المنتجين 192؛ ومربع حاصل ضرب القطرين 36000 أصغر من 36864، مربع 192. فلا نحتاج تقريب الجذر لإثبات المقارنة.
• عند جعل A أصل الإحداثيات، نحول كل متجه غير صفري u إلى u′=u/U، حيث U مربع طوله. مسافات النقاط الجديدة تقود إلى متباينة المثلث، ثم تعيد صيغة بطليموس بضربها في AB×AC×AD. في المستطيل يقع C′ بين B′ و D′؛ وفي المثال الآخر لا تقع النقاط الجديدة على خط واحد.
• الترتيب A,C,B,D لنقاط المستطيل نفسه يعطي 144 مقابل 194، فلا تبقى المساواة. كذلك قد تتساوى المنتجات لأربع نقاط على خط، مثل 0 و 2 و 5 و 9: الطرفان 35. هذه نقاط منتهية على خط، وليست رباعيًا محدبًا غير منحل.
• كل طرف حاصل ضرب أطوال، فتكون وحدته مربع وحدة الطول. تكبير المستطيل بعامل 2 يجعل الطرفين 676؛ لا نجمع أطوالًا أو مساحات بدل المنتجات، ولا نستنتج الدائرية من رسم تقريبي.

حدّد الأضلاع والقطرين قبل التعويض

الرمز AB يعني طول المسافة بين A و B، لا حاصل ضرب حرفين. عند المرور حول حدود رباعي محدب بالترتيب A,B,C,D، الأضلاع AB و BC و CD و DA، والقطران AC و BD. الضلعان المتقابلان هما AB مع CD، و BC مع DA.

متباينة بطليموس تقارن AC×BD بمجموع AB×CD+BC×DA. وفي الرباعي الدائري تتحول إلى مساواة؛ أي إن رؤوسه تقع على دائرة واحدة. [1][2] نقصر وصف «القطرين» هنا على ترتيب الحدود الصحيح لرباعي محدب غير منحل.

سنحسب الأطوال من الإحداثيات بوحدة طول مجردة واحدة. المسافة بين نقطتين هي الجذر التربيعي لمجموع مربعَي فروق المركبتين. الرسم يوضح مواضع الرؤوس، أما القيم الدقيقة فتأتي من هذه الإحداثيات، لا من قياس الصورة.

مستطيل 12 في 5 يعطي مساواة دقيقة

اختر A=(0,0)، B=(12,0)، C=(12,5)، D=(0,5). طول كل ضلع أفقي 12، وطول كل ضلع رأسي 5. كل قطر له مربع طول 12²+5²=169، فيكون طوله 13. حاصل ضرب القطرين 13×13=169، ومجموع حاصلَي ضرب الأضلاع المتقابلة 144+25=169.

يمكن فحص الدائرة مباشرة في المثال. مركزها O=(6,5/2)، ومربع بعدها عن كل رأس 169/4؛ لذلك تقع الرؤوس الأربعة على الدائرة نفسها. لا نحتاج إلى الاستدلال من استدارة خط الرسم وحده.

لم نضرب الضلعين المتجاورين 12 و 5 في صيغة بطليموس. حاصل ضربهما 60 يعطي مساحة هذا المستطيل، وهو حساب آخر. حاصل ضرب القطرين 169 ليس مساحة، رغم أن كلا العددين يحمل مربع وحدة الطول.

تغيير رأسين يجعل المقارنة صارمة

أبقِA=(0,0) و B=(12,0)، واختر C=(12,4) و D=(0,9). الشكل محدب بهذا الترتيب. طول CD هو 13 لأن فروق المركبتين 12 و 5. بقية الأضلاع 12 و 4 و 9. أما AC فمربع طوله 160، فيكون 4√10، وطول BD هو 15 لأن مربع طوله 144+81=225.

مجموع حاصلَي ضرب الأضلاع المتقابلة 12×13+4×9=192. حاصل ضرب القطرين 4√10×15=60√10. كلا الطرفين موجب؛ لذلك نقارن مربعيهما: 36000 مقابل 36864. بما أن 36000 أصغر، فإن 60√10 أصغر من 192. التقريب قد يساعد التصور، لكنه غير لازم لهذا الحكم.

الدائرة المارة بالرؤوس A و B و C تحقق x²+y²−12x−4y=0. عند D=(0,9)، الطرف الأيسر 81−36=45، لا صفر. إذن الرأس الرابع ليس على هذه الدائرة. نقارن هنا رباعيًا محدبًا صحيح الترتيب، لا شكلًا متقاطع الأضلاع.

يعرض الجدول الأطوال في المثالين. الأسماء ثابتة، لكن موضعَي C و D اختلفا، فليس القطر AC في الشكل الثاني 13. كما أن CD=13 لا يجعل الشكل مستطيلًا؛ هذا طول ضلع مائل.

تحويل الإحداثيات يعيد المسألة إلى متباينة المثلث

يمكن فهم اتجاه المتباينة بتحويل حسابي. اجعل A أصل الإحداثيات، ولأي متجه غير صفري u اكتب U=‖u‖² ثم u′=u/U. نبقي هذه الفقرة في المستوى الإقليدي وبأربع نقاط مختلفة، فتكون مربعات أطوال متجهات B و C و D موجبة، ولا نقسم على صفر.

إذا V=‖v‖²، فإن طرح u/U و v/V وتربيع الطول يعطي ‖u′−v′‖²=‖u−v‖²/(UV). يمكن فحص الهوية بعد ضربها في U²V²: مربع طول Vu−Uv يساوي UV مضروبًا في مربع طول u−v. الحدود المتقاطعة تتطابق بالتوزيع. هذه هوية عامة، وليست استنتاجًا من الأمثلة المختارة.

بتطبيقها على B و C و D، نجد B′C′=BC/(AB×AC)، و C′D′=CD/(AC×AD)، و B′D′=BD/(AB×AD). متباينة المثلث تعطي B′D′ ≤ B′C′+C′D′. اضرب الطرفين في AB×AC×AD الموجب، فتنتج صيغة بطليموس: AC×BD ≤ BC×AD+AB×CD.

في المستطيل، تحقق النقاط الجديدة 12x′+5y′=1. وتقع C′ على الجزء من B′ إلى D′ عند الكسر 25/169 من الطريق، فتكون المسافة المباشرة مساوية لمجموع الجزأين. حساب الأطوال يعطي 5/156+12/65=13/60. الضرب في 12×13×5 يعيد 169=169.

في الرباعي الثاني، خط B′D′ معادلته 12x′+9y′=1. لكن C′ يعطي 9/8 بدل 1. لذلك B′ و C′ و D′ غير واقعة على خط واحد، والمسار عبر C′ أطول من المسافة المباشرة. الرسم الداخلي يستخدم مقياسًا واحدًا للنقاط المحولة في المثالين.

الدائرة وحدها لا تصلح ترتيبًا خاطئًا للرؤوس

نقاط المستطيل الأربعة لم تتغير. لكن إذا مررت عليها بالترتيب A,C,B,D، يصبح المساران بين الموضعين الأول والثالث وبين الثاني والرابع هما AB و CD وفق الأسماء الأصلية. حاصل ضربهما 144. أما مجموع المنتجين الآخرين ف 169+25=194. المتباينة صحيحة، لكن المساواة اختفت.

الأضلاع في هذا المرور ليست حدود المستطيل المتتابعة؛ بعضها كان قطرًا في الترتيب الأول. لذلك لا تستعمل نتيجة المساواة الخاصة برباعي دائري مرتب حول حدوده دون مراجعة أسماء المسافات. الجدول يحتفظ بالأسماء الأصلية لتجنب خلط التسمية بالموضع.

وهناك حد آخر لوصف الشكل: خذ A=(0,0)، B=(2,0)، C=(5,0)، D=(9,0). حاصل ضرب المسافتين AC و BD يساوي 5×7=35، والمجموع الآخر 2×4+3×9=35. النقاط على خط وليست رؤوس رباعي محدب غير منحل. المساواة العددية لا تكفي وحدها لإثبات وجود دائرة تمر بأربع نقاط مختلفة على خط.

راجع الوحدات والتكبير وطريقة القراءة

إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، تقاس المنتجات بالسنتيمتر المربع. هذا لا يحول كل منتج إلى مساحة الشكل. في مستطيل 12 في 5، المساحة 60، بينما قيمة كل طرف في بطليموس 169. لا تجمعهما على أنهما الكمية نفسها.

تكبير كل إحداثي في المستطيل بعامل 2 يجعل الأطوال 24 و 10 والقطرين 26. يتضاعف كل حاصل ضرب بعامل 4، فتكون 26×26=24×24+10×10=676. أما في الرباعي الثاني، فيصبح مجموع المنتجين 768، وحاصل ضرب القطرين 240√10؛ وتبقى المقارنة صارمة.

ابدأ بترتيب الحدود، ثم احسب المسافات الست. ضع كل مسافة في مكانها وقارن المنتجات بوحدة واحدة. تحقق من الدائرة أو الإحداثيات إذا أردت المساواة. لا تخلط بين رسم غير دقيق وبين دليل على الدائرية، ولا تبدل الضرب بجمع أطوال الأضلاع أو القطرين.