مصفوفة الإسقاط: لماذا لا يكفي الشرط P²=P للتعامد؟

ثبات الناتج أم تعامد الاتجاه؟

نعمل في ℝ²، والمتجهات أعمدة. I مصفوفة الوحدة وPᵀ المنقول. الإسقاط مصفوفة مربعة تحقق P²=P؛ ولتكون متعامدة نطلب أيضًا Pᵀ=P. [1]

خذ P=[[1,2],[0,0]]. حاصل ضربها في نفسها هو [[1×1+2×0,1×2+2×0],[0,0]]=[[1,2],[0,0]]؛ إذن الشرط الأول متحقق.

لكن Pᵀ=[[1,0],[2,0]] يختلف عنها. ولكل v=(x,y) نحصل على Pv=(x+2y,0). الصورة على محور السينات، والتغيير في المركبة الأفقية يعتمد على y.

إذا كانت النقطة على المحور أصلًا، أي v=(x,0)، بقيت كما هي. ثبات نقاط الخط الهدف لا يكشف وحده اتجاه الوصول إليها.

المدى والنواة يحددان الإسقاط

المدى جميع الصور Pu، والنواة حلول Pk=0. وبسبب P²=P تبقى نقاط المدى ثابتة. [2]

في مثالنا المدى محور السينات كاملًا؛ فكل (a,0) صورة لنفسه. والنواة هي حلول x+2y=0، أي جميع المضاعفات t(−2,1).

للنقطة v=(1,3) نجد Pv=(7,0). والباقي v−Pv=(−6,3)=3(−2,1)، في النواة: P(−6,3)=(−6+6,0)=(0,0).

هندسيًا نصل من v إلى Pv على خط مواز لاتجاه النواة. متجه الحركة Pv−v=(6,−3) هو −3(−2,1). هذه الحركة مائلة وليست عمودية على المحور.

للمقارنة، Q=[[1,0],[0,0]] له المدى نفسه، لكن نواته جميع (0,t). تغيير النواة يغيّر اتجاه الوصول، رغم ثبات الخط الهدف.

ماذا يفعل الإسقاط المكمل؟

من P²=P ينتج (I−P)²=I−2P+P²=I−P، وكذلك P(I−P)=(I−P)P=0. إذن I−P إسقاط مكمل. [1]

في مثالنا C=I−P=[[0,−2],[0,1]]. لذلك Cv=(−6,3)، وv=Pv+Cv=(7,0)+(−6,3). مدى C هو نواة P، ونواة C هي مدى P؛ نتحقق هنا مباشرة من C(x,y)=(−2y,y).

لأي إسقاط، P(Pv)=Pv يثبت الجزء في المدى، وP(v−Pv)=Pv−P²v=0 يضع الباقي في النواة. [2]

ولإثبات الوحدانية، إذا كان z في المدى والنواة معًا، فاكتب z=Pw وPz=0. حينئذ z=P²w=Pz=0. وإذا وجد تفكيكان v=u₁+k₁=u₂+k₂، فإن u₁−u₂=k₂−k₁ يقع في المجموعتين؛ فيساوي الصفر. [2]

في مثالنا (1,0)·(−2,1)=−2 لا صفر. لذلك هذان الاتجاهان مكملان لكن غير متعامدين. لا نستبدل وصف المكمل بوصف العمودي.

اختبار أقرب نقطة وزيادة الطول

الإسقاط المتعامد يعطي أقرب نقطة في الفضاء الجزئي بالنسبة إلى المسافة الإقليدية؛ ويكون الباقي عموديًا على ذلك الفضاء. [3] نتحقق من الخاصيتين مباشرة لمحور السينات.

للنقطة (1,3)، مربع المسافة إلى أي (w,0) هو (1−w)²+9. أقل قيمة9 تتحقق عند w=1 وحده، فتكون أقرب نقطة Qv=(1,0).

أما Pv=(7,0)، فيعطي مربع مسافة (1−7)²+9=45. والباقي (−6,3) ليس عموديًا على المحور: جداؤه الداخلي مع (1,0) يساوي−6. الباقي عند Q هو (0,3)، وجداؤه مع (1,0) صفر.

كذلك ‖Pv‖²=7²=49 أكبر من ‖v‖²=1²+3²=10. لا يتناقض ذلك مع P²=P؛ الناتج يبقى (7,0) عند التطبيق مرة أخرى، حتى لو ازداد طوله في المرة الأولى.

وتعمم الأسرة Pₐ=[[1,a],[0,0]] الفكرة: لكل عدد حقيقي a يكون Pₐ²=Pₐ، والتناظر يتحقق فقط عند a=0. على المتجه (0,1) تكون الصورة (a,0)، فيمكن أن يكبر طولها كيفما نختار a.

عند فحص إسقاط حقيقي، ابدأ بضرب المصفوفة في نفسها، ثم افحص المنقول والمدى والنواة. إن كان السؤال عن أقرب نقطة، فافحص التعامد أو المسافة؛ مجرد ثبات الإسقاط لا يحسم ذلك.