نظرية مينلاوس: الإشارة تكشف استقامة النقاط

الخلاصة السريعة

عند اعتماد نسب موجهة موجبة داخل الضلع وسالبة خارجه، تختبر نظرية مينلاوس الاستقامة بشرط (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=−1. في مثالنا 1×(1/2)×(−2)=−1، فتقع D و E و F على المستقيم 5x+21y=150.

• اختر مثلثًا غير منعدم المساحة، و D على خط BC، و E على خط CA، و F على خط AB، بعيدًا عن الرؤوس. شرط الاستقامة هو (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=−1 بالنسب الموجهة. [1][2] النسبة موجبة داخل الضلع وسالبة على امتداده؛ الأطوال العادية وحدها لا تحفظ الموقع.
• مثالنا A=(0,0)، B=(15,0)، C=(3,10). النقطة D=(9,5) منتصف BC، و E=(2,20/3) تحقق CE/EA=1/2. اختر F=(30,0) بعد B؛ فتكون AF=30 و FB=15، والنسبة الموجهة AF/FB=−2.
• الخط 5x+21y=150 يمر بالنقاط الثلاث: التعويض يعطي 150 عند D و E و F. أما F′=(10,0) داخل AB فيعطي 50، رغم أن AF′/F′B=2 بالأطوال الموجبة، مثل F. الحاصل الموجه مع F′ هو 1، فلا توجد استقامة.
• إذا كانت نقطة P=U+t(V−U)، فنسبتها الموجهة UP/PV=t/(1−t). في إحداثيات مثلثية، نكتب D=(1−t,t)، E=(0,1−s)، F=(u,0). محدد الاستقامة Δ=(1−t)(1−s)−u(1−t−s)؛ شرط الحاصل −1 يكافئ Δ=0.
• البرهان بالمحدد يثبت الشرط في الاتجاهين، ويشمل نقطة خارجية واحدة أو ثلاث نقاط خارجية. إذا استقامت النقاط، فعدد النسب السالبة فردي. الحاصل الموجب 1 للأطوال العادية يحتاج معلومات الموقع؛ المثال F′ يبين أنه لا يكفي وحده.
• التكبير بعامل 2 يجعل F=(60,0) والخط 5x+21y=300، وتبقى النسب 1 و 1/2 و −2. تصبح مساحة ABC تساوي 300 بدل 75. تستبعد الصيغة الرؤوس والمثلث المنعدم؛ وسؤالها عن استقامة D و E و F، لا تلاقي AD و BE و CF.

ثبت المثلث واتفاق الإشارة

نبدأ بالمثلث A=(0,0)، B=(15,0)، C=(3,10). قاعدته طولها 15 وارتفاعه 10، فمساحته 15×10/2=75. نضع D على خط BC، و E على خط CA، و F على خط AB. ذكر الخط يسمح بأن تقع النقطة على الضلع نفسه أو على امتداده.

نظرية مينلاوس تربط استقامة النقاط الثلاث بحاصل نسب التقسيم. [1] نستعمل هنا الصيغة الموجهة ذات الحاصل −1. [2] نرتب الكسور في دورة BD/DC ثم CE/EA ثم AF/FB؛ الرموز نفسها ستظهر في الحسابات والجدول.

لتحديد الإشارة دون التباس، خذ نقطتين U و V مختلفتين، ونقطة P على خطهما. اكتب P=U+t(V−U). المتجه UP يساوي t(V−U)، والمتجه PV يساوي (1−t)(V−U)، فالنسبة الموجهة UP/PV=t/(1−t). المقصود نسبة معاملي المتجهين، وليس قسمة متجه على متجه.

إذا كان t بين 0 و 1، كان المعاملان موجبين والنسبة موجبة. إذا كان t أكبر من 1، صار 1−t سالبًا؛ وإذا كان t سالبًا، صار البسط سالبًا. في الحالتين تقع P خارج القطعة UV وتكون النسبة سالبة. عند t=1 يصبح المقام صفرًا؛ وعند t=0 تقع P عند الرأس U، وهي حالة مستبعدة أيضًا.

الأطوال العادية لا تصبح سالبة. نميزها عن النسبة الموجهة: النقطة F=(30,0) تعطي AF=30 و FB=15، لكن المتجه AF يتجه يمينًا والمتجه FB يسارًا. لذلك نسبة الأطوال 2، ونسبة المعاملين −2. الجدول يقارن النوعين في المثال.

احسب النقاط ثم افحص خطًا واحدًا

بما أن D منتصف BC، فإن D=((15+3)/2,(0+10)/2)=(9,5)، والنسبة BD/DC=1. ومن C إلى A، تقع E بعد ثلث المسافة: E=(3,10)+(1/3)(−3,−10)=(2,20/3). بقي ثلثا المسافة إلى A، فتكون CE/EA=(1/3)/(2/3)=1/2.

النقطة F=(30,0) تقع على خط AB بعد B، ومعاملها بالنسبة إلى A و B هو u=2. تعطي النسبة u/(1−u)=−2. لذلك حاصل النسب الموجهة 1×(1/2)×(−2)=−1. لم نقرر الإشارة من الشكل؛ حددنا موضع النقطة بالإحداثيات.

ميل المستقيم عبر D و E هو (20/3−5)/(2−9)=−5/21. بإعادة ترتيب معادلته نحصل على 5x+21y=150. عند D يكون 5×9+21×5=150؛ وعند E يكون 5×2+21×(20/3)=150؛ وعند F يكون 5×30=150.

كل نقطة من D و E و F تحقق المعادلة نفسها، إذن تقع على مستقيم واحد. يظهر الرسم امتداد القاعدة إلى F، والمستقيم القاطع الملون. المقياس موحد للمحورين؛ المعادلة هي دليل الاستقامة، فلا نستخرج حكمًا من سماكة الخط أو من القياس على الشاشة.

يبين الجدول نتيجة التعويض للنقطة F′ أيضًا. اختلاف 50 عن 150 سيعطي مثالًا مضادًا لاستعمال الأطوال الموجبة وحدها، دون الحاجة إلى تقريب أي إحداثي كسري.

النسبة الموجبة نفسها لا تضمن الاستقامة

ضع F′=(10,0) داخل AB. طول AF′ يساوي 10، وطول F′B يساوي 5، فتكون نسبة الأطوال 2، مثل نسبة 30/15 عند F. مع بقاء D و E، حاصل النسب غير الموجهة 1×(1/2)×2=1 في الحالتين.

لكن F′ تحقق 5x+21y=50، فلا تقع على مستقيم D و E. النسبة الموجهة عند F′ موجبة لأن النقطتين A و B تحيطان بها. حاصل النسب الموجهة يصبح 1، بينما شرط الاستقامة −1. الإشارة احتفظت بمعلومة الموقع التي فقدناها عند أخذ الأطوال فقط.

هذه ليست مفارقة في النظرية. من معادلة نسبة الأطوال AF/FB=2 على خط القاعدة، يوجد حل داخلي عند x=10 وحل خارجي بعد B عند x=30. تعطي النسبة الموجهة+2 للأول و −2 للثاني، فتفصل بين الموضعين.

إذا استخدمت صيغة بالأطوال الموجبة، فلا تنسَ الشروط التي تحدد أي نقطة خارج الضلع. وجود الحاصل 1 وحده لا يكفي لجميع المواضع الممكنة؛ المثال الداخلي أعلاه يفشل رغم استيفائه ذلك الحساب. قارن نوع النسبة وموقع النقطة قبل نقل صيغة من مرجع إلى رسمك.

برهان يحفظ الاتجاهين بالمحدد

لإثبات الشرط عمومًا، نستعمل إحداثيات نسبة إلى المثلث بدل المحورين المعتادين. تمثل النقطة ذات الزوج (x,y) النقطة A+x(B−A)+y(C−A). يصبح A=(0,0)، B=(1,0)، C=(0,1) في هذا الوصف. لأن مساحة المثلث غير صفرية، لا يختزل هذا التحويل المستوى إلى خط، ويحفظ الاستقامة ومعامل التقسيم على كل خط.

اكتب D=B+t(C−B)، و E=C+s(A−C)، و F=A+u(B−A). إحداثياتها الجديدة D=(1−t,t)، E=(0,1−s)، F=(u,0). لا يلزم أن تكون t و s و u بين 0 و 1؛ القيم الخارجية تعبر عن امتدادات الأضلاع. نستبعد 0 و 1 لكل معامل.

النسب الموجهة هي BD/DC=t/(1−t)، و CE/EA=s/(1−s)، و AF/FB=u/(1−u). شرط حاصلها −1، بعد الضرب في المقامات غير الصفرية، يصبح tsu+(1−t)(1−s)(1−u)=0. هذه خطوة تكافؤ؛ لم نضرب في مقام يمكن أن يساوي صفرًا.

استقامة D و E و F تكافئ انعدام محدد المتجهين E−D و F−D. بالحساب، هذا المحدد Δ=(1−t)(1−s)−u(1−t−s). وبعد التوسيع، يعطي الطرف في شرط النسب التعبير نفسه: 1−t−s+ts−u+tu+su. إذن شرط الحاصل −1 يكافئ Δ=0، فيثبت لزوم الشرط وكفايته.

في مثالنا t=1/2 و s=1/3 و u=2، فنجد Δ=(1/2)(2/3)−2(1/6)=0. مع F′ يتغير u إلى 2/3، فيصبح Δ=1/3−1/9=2/9، وهو غير صفر. هذه نتيجة مستقلة عن قراءة الصورة.

التحويل من الإحداثيات الجديدة إلى إحداثيات مثالنا يضرب المحدد في 15×10=150. لذلك محدد D و E و F′ في المستوى الأصلي يساوي 150×(2/9)=100/3. نصف قيمته المطلقة، 50/3، هو مساحة المثلث DEF′؛ المساحة الموجبة تؤكد عدم الاستقامة. هذه إحداثيات مثلثية، ولا نفترض أن محوريها متعامدان أو متساويا الوحدة.

نقطة خارجية واحدة أو ثلاث

النسبة السالبة تعني نقطة خارج ضلعها. إذا كان حاصل النسب الثلاث −1، فعدد العوامل السالبة فردي: واحد أو ثلاثة. لذلك قد يقطع مستقيم ضلعين داخليًا وامتداد الثالث، كما في مثالنا؛ وقد يستوفي الاختبار بثلاث نقاط على الامتدادات.

لا يكتفي البرهان بالعدّ الفردي. وجود نقطة خارجية واحدة شرط للمواقع في الحالة الشائعة، لكنه لا يحدد المقادير وحده. لا بد من حاصل النسب الصحيح أيضًا. والمحدد يثبت الاستقامة لكل حالة مقبولة، بما فيها ثلاث نقاط خارجية، دون تغيير قاعدة الإشارة.

قلب الكسور الثلاث كلها يعطي مقلوب الحاصل، ومقلوب −1 يبقى −1. لكن قلب كسر واحد لا يحافظ على الشرط عمومًا. في مثالنا، قلب −2 وحدها إلى −1/2 يعطي 1×(1/2)×(−1/2)=−1/4؛ هذا خطأ في ترتيب الاختبار، وليس تغييرًا في استقامة النقاط الأصلية.

لاحظ موضوع السؤال: مينلاوس تختبر استقامة D و E و F. وصل الرؤوس بالنقاط المقابلة وإيجاد تلاقي AD و BE و CF سؤال آخر. لا تجعل مجرد كتابة الكسور نفسها سببًا لاستبدال الحاصل −1 بالحاصل 1 أو لنقل نتيجة أحد السؤالين إلى الآخر.

التكبير وحدود الاختبار

ضاعف إحداثيات المثال الأصلي. تصبح B=(30,0)، C=(6,20)، D=(18,10)، E=(4,40/3)، F=(60,0). تتحقق المعادلة 5x+21y=300 عند النقاط الثلاث. كل طول تضاعف، فتبقى نسب التقسيم 1 و 1/2 و −2، وتبقى الإشارات لأن موقع كل نقطة بالنسبة إلى طرفي ضلعها لم يتغير.

مساحة ABC الجديدة 30×20/2=300، أربعة أمثال 75. تضاعف الأطوال بعامل 2 يضاعف المساحات بعامل 4. شرط النسب لا يحدد حجم المثلث أو وحدة قياسه؛ إنه علاقة بين نقاط التقسيم على خطوط أضلاعه.

تحتاج الصيغة مثلثًا غير منعدم المساحة ونقاطًا بعيدة عن الرؤوس. وقوع نقطة عند الطرف الثاني يجعل مقام نسبتها صفرًا؛ وقوعها عند الطرف الأول يجعل البسط صفرًا ويخرجها من المجال المحدد هنا. إذا استقامت رؤوس ABC نفسها، يفقد البرهان التحويل القابل للعكس الذي اعتمدناه.

للتطبيق، ثبت أسماء النقاط وخط كل ضلع، وحدد هل كل نقطة داخل القطعة أم على امتدادها. اكتب الكسور في دورة واحدة، ثم احسب النسب الموجهة بدقة. بعد الحصول على −1، يمكنك تأكيد المثال العددي بمعادلة مستقيم أو بمحدد صفر، كما فعلنا هنا.