التحليل القطبي يكتب A=QH، حيث Q متعامدة وH متناظرة موجبة شبه محددة. [1] نفحص مثالًا حقيقيًا بحجم2×2.
استخرج الجذر غير السالب
من QᵀQ=I ينتج AᵀA=H². نأخذ الجذر الموجب شبه المحدد H=(AᵀA)¹ᐟ²؛ ولـA غير المنفردة، Q=AH⁻¹ وحيد. [1]
نأخذ A=[[0,6],[−2,0]]، والفواصل بين المجموعات تفصل الصفوف. منقولها Aᵀ=[[0,−2],[6,0]]؛ والضرب يعطي AᵀA=[[4,0],[0,36]].
إذن H=[[2,0],[0,6]]، وH²=[[4,0],[0,36]]. لأي z=(p,q)، يكون zᵀHz=2p²+6q²، وهو موجب لكل z غير صفري. بذلك يتحقق شرط الإيجابية في المثال.
الجذر المصفوفي X يعني X²=AᵀA؛ وقد توجد جذور متعددة، لكن الجذر المتناظر الموجب شبه المحدد وحيد. [2] هنا X=diag(−2,6) أيضًا يحقق X²=AᵀA، إلا أن (1,0)ᵀX(1,0)=−2؛ فلا يصلح عامل H.
نحسب H⁻¹=diag(1/2,1/6)، ثم Q=AH⁻¹=[[0,1],[−1,0]]. نجد QᵀQ=I، وQH=[[0,6],[−2,0]]=A.
اتبع المتجه وافحص ترتيب العاملين
نقيس الطول الإقليدي بـ||z||₂=√(p²+q²). [3] في المثال، Q(p,q)=(q,−p)، وطول الناتج هو√(q²+p²)، فيساوي طول المدخل لكل p وq.
أما H(p,q)=(2p,6q)، فيعطي ||Hz||²=4p²+36q². هذا تمدد مختلف على المحورين؛ لا يضرب طول كل متجه في العدد نفسه. وقد يغير اتجاه المتجه أيضًا: (1,1) يصير(2,6)، وهما ليسا على خط واحد من الأصل.
مع x=(1,1)، نطبق H أولًا: Hx=(2,6). ثم Q: QHx=(6,−2). الطول في المرحلتين√40، بينما طول x الأصلي√2؛ عامل تغير الطول لهذا المدخل√20.
إذا طبقنا Q أولًا، صار Qx=(1,−1)، ثم HQx=(2,−6). ونحسب HQ=[[0,2],[−6,0]]؛ يختلف عن QH. المساواة بين طولي الناتجين في هذا المدخل لا تجعل المتجهين أو التحويلين متساويين.
يوجد وصف بتمدد يأتي بعد Q، لكن يجب تغيير عامل التمدد. خذ K=diag(6,2): KQ=[[0,6],[−2,0]]=A، وK²=AAᵀ=diag(36,4). كما أن QHQᵀ=K. هنا H≠K؛ نقل العامل عبر Q دون تعديله لا يحافظ على الناتج.
غيّر الإشارة: دوران أم انعكاس؟
نوسع مثالنا إلى Aₜ=[[0,6],[t,0]]. عندئذ AₜᵀAₜ=diag(t²,36)، والجذر الموجب شبه المحدد Hₜ=diag(|t|,6). الجذر غير السالب لـt² هو|t|، لا t إذا كان سالبًا.
إذا t≠0، فـHₜ قابل للعكس، ونحصل على Qₜ=[[0,1],[t/|t|,0]]. حاصل QₜᵀQₜ يساوي I، وحاصل QₜHₜ يساوي Aₜ. المحدد det(Qₜ)=−t/|t|.
عند t=−2، يعيد Qₜ المثال السابق: (p,q) يصير(q,−p)، أي دوران90° مع عقارب الساعة، ومحدده1. متجه(1,0) يصير(0,−1)، ومتجه(0,1) يصير(1,0).
عند t=2، يصبح Qₜ=[[0,1],[1,0]]؛ يرسل(p,q) إلى(q,p)، وهو انعكاس حول الخط y=x، ومحدده−1. المتجه(1,1) يبقى ثابتًا، والمتجه(1,−1) ينقلب إلى(−1,1).
في الحالتين يحفظ العامل المتعامد الطول؛ لكن أثره الهندسي مختلف. لهذا لا نسمّي كل عامل متعامد «دورانًا». عامل التمدد Hₜ نفسه عند t=−2 وt=2؛ فرق الإشارة ظهر كاملًا في Qₜ.
عند الصفر: عامل تمدد وحيد وإكمالان متعامدان
عند الانفراد، قد يفقد العامل المتعامد تفرده؛ ويبقى الجذر الموجب شبه المحدد وحيدًا. [1]
عند t=0، يكون A₀=[[0,6],[0,0]] وH₀=diag(0,6). جرّب Q₊=[[0,1],[1,0]] وQ₋=[[0,1],[−1,0]]: كلاهما يحقق QᵀQ=I، وكلاهما يعطي QH₀=A₀.
العمود الثاني من Q يجب أن يكون(1,0)، لأن ضربه في6 يعطي العمود الثاني من A₀. أما العمود الأول فيضرب في صفر، فلا تكشف A₀ اتجاهه. التعامد والطول1 يسمحان بالاختيارين(0,1) و(0,−1).
لأي x=(p,q)، يكون H₀x=(0,6q)، ثم Q₊H₀x=Q₋H₀x=(6q,0). الاختلاف بين الإكمالين يقع في اتجاه لا تصل إليه صورة H₀؛ لذلك يختفي من التحويل النهائي.
هنا det(H₀)=0، فلا نحسب AH₀⁻¹. الصيغة Q=AH⁻¹ تتطلب عدم الانفراد. [1] المقال يختبر إكمالًا متعامدًا كاملًا بحجم2×2؛ والحساب يثبت وجود اختيارين.
| t | Hₜ | أثر العامل المتعامد |
|---|---|---|
| −2 | diag(2,6) | دوران90° مع عقارب الساعة |
| 2 | diag(2,6) | انعكاس حول y=x |
| 0 | diag(0,6) | إكمالان متعامدان يعطيان A₀ |
للتوسع: الجبر الخطي.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.