انعكاس هاوسهولدر: صفّر مركبة المتجه واحفظ طوله

ابنِ الاتجاه العمودي

نعمل بمتجهات حقيقية عمودية. الطول الإقليدي ‖x‖₂=√Σxᵢ². [3] في مثالنا √(5²+12²)=√169=13، وكذلك طول y=(13,0).

عند x≠y وطولين متساويين، نختار v=x−y ونستعمل H=I−2vvᵀ/(vᵀv). تغيير v بمضاعف غير صفري لا يغير H. [1]

الفرق هنا v=(−8,12)=4(−2,3)، لذا نحسب بالمتجه الأقصر n=(−2,3). حاصل nᵀn=4+9=13، وnnᵀ=[[4,−6],[−6,9]].

من ثم H=[[1,0],[0,1]]−(2/13)[[4,−6],[−6,9]]=[[5,12],[12,−5]]/13. الفاصل بين الصفين يفصل مجموعتي عناصر، والفاصلة داخل المتجه تفصل المركبتين.

تحقق من التصفير والطول

نضرب الصف الأول: (5×5+12×12)/13=169/13=13. الصف الثاني يعطي(12×5−5×12)/13=0. هكذا H(5,12)=(13,0).

المركبة الثانية اختفت، لكن الأولى تغيرت من5 إلى13. أما مصفوفة المسح C=[[1,0],[0,0]] فتعطي C(5,12)=(5,0)، وتخفض الطول من13 إلى5. ليست هذه النتيجة هي الانعكاس المطلوب.

وللتأكد من الرجوع نحسب H(13,0)=(5,12). الصفان يقدمان5 و12 مباشرة، فلا نحتاج تخمين زاوية أو تقريب عشري. كذلك det(H)=(−25−144)/169=−1.

الأعداد في المثال مفترضة ودقيقة؛ الرقم13 طول في فضاء الإحداثيات المختار، وليس قياسًا ميدانيًا بوحدة محددة.

أي خط يعمل مرآة؟

المرآة هي الفضاء العمودي على n، وليست اتجاه n نفسه. المركبة الموازية للمرآة تثبت، والعمودية تنعكس. [2]

في المستوى نختار z=(3,2)، لأن nᵀz=−2×3+3×2=0. خط المرآة إذن نقاطه t(3,2)، أي y=2x/3، ويمر بنقطة الأصل.

منتصف x وصورته هو m=((5+13)/2,(12+0)/2)=(9,6)=3z، فيقع على المرآة. ونكتب x=m+2n=(9,6)+(−4,6). صورة هذا الجمع m−2n=(9,6)−(−4,6)=(13,0).

نختبر الاتجاهين بالضرب: Hz=((15+24)/13,(36−10)/13)=(3,2). أما Hn=((−10+36)/13,(−24−15)/13)=(2,−3)=−n. الخط يبقى ثابتًا، بينما يتبدل اتجاه العمود.

لماذا يعمل البناء؟

اكتب S=vvᵀ/(vᵀv). نحصل على Sᵀ=S وS²=S، ومن H=I−2S نجد H²=I−4S+4S²=I وHᵀH=I. [1][2]

إذن ‖Hw‖₂²=wᵀHᵀHw=wᵀw لأي متجه حقيقي w. ولتساوي طولي x وy، مع v=x−y≠0، نجد vᵀv=2vᵀx؛ فيصير Hx=x−v=y. [1]

في مثالنا vᵀv=64+144=208، وvᵀx=−40+144=104؛ النسبة2vᵀx/(vᵀv)=1، فتتحقق خطوة x−v=(13,0) بالأعداد نفسها.

إذا كان x=y، فالفرق صفر ولا نقسم عليه؛ يمكن إبقاء المتجه كما هو باستعمال I عند عدم الحاجة إلى تحويله. أما الهدف(10,0) فطوله10، فلا يحققه أي انعكاس يحفظ طول x البالغ13. [1]

قبل الحساب تحقق من الطولين، ثم اختر العمود، واضرب H في المدخل، وافحص الطول والرجوع. هندسة منتصف النقطتين تقدم فحصًا إضافيًا في مثال المستوى.