طريقة ويلش: لماذا نوسّط الأطياف لا معاملات فورييه؟

حدد ما يوسّط وإعدادات المقاطع

تحسب ويلش طيف كل مقطع ثم متوسط الأطياف. [1]

نختار السجل المفترض [1,0,−1,0,−2,0,2,0] بالفولت، ومعدل أخذ عينات fs=4 Hz. القيم حقيقية ومنتهية ومتساوية التباعد، بلا قيم مفقودة. الفهارس من صفر إلى 7، والأزمنة n/4 ثانية؛ المقطع الأول يبدأ عند الصفر والثاني عند ثانية واحدة.

طول كل مقطع L=4. أوزان النافذة [1,1,1,1]، أي مستطيلة؛ لا تداخل ولا حشو أصفار. نبقي القيم دون إزالة متوسط أو اتجاه. اخترنا المتوسط الحسابي لتقديري المقطعين، وليس وسيطهما.

عدم التداخل يجعل هذه الحالة مكافئة لبارتليت. [1] لذلك لا ننسب إعدادات مثالنا إلى الخيارات الافتراضية للدالة welch.

نكتب تحويل المقطع X[k]=Σₙ₌₀³x[n]exp(−i2πkn/4)، بلا قسمة أمامية، وi²=−1. لا نجمع تحويل مقطع عند بداية زمنية مختلفة كأنه يحمل المرجع الزمني العالمي نفسه؛ هنا كل مقطع مفهرس محليًا من صفر.

احسب كثافة كل مقطع ثم المتوسط

إذا كانت القيم بالفولت ومعدل العينات بالهرتز، فلكثافة طيف القدرة وحدة V²/Hz. وفي الجانب الواحد للبيانات الحقيقية تضاف مساهمة التردد السالب إلى الموجب المقابل. [2]

مع النافذة المستطيلة نعرّف كثافة كل مقطع في جانبين: P[k]=|X[k]|²/(fsL)=|X[k]|²/16. لم نأخذ مربع العدد المركب X²؛ نحسب مربع المقدار، أي a²+b² إذا كان X=a+ib. [3]

للأربع نقاط الحقيقية، نعرض الجانب الواحد [P[0],P[1]+P[3],P[2]]. نضم الزوج 1 و3، ونبقي الثابت ونايكويست مرة واحدة. الخانات عند kfs/L هي [0,1,2] Hz، وتباعدها Δf=1 Hz.

المقطع u=[1,0,−1,0] يعطي U=[0,2,0,2]. مثلًا U[1]=1+(−1)(−1)=2. كثافته في جانبين [0,1/4,0,1/4]، وفي جانب واحد [0,1/2,0].

والمقطع v=[−2,0,2,0] يعطي V=[0,−4,0,−4]. كثافته في جانبين [0,1,0,1]، وفي جانب واحد [0,2,0]. المتوسط خانة بخانة يصبح [0,5/4,0]، أي [0,1.25,0] بوحدة V²/Hz.

نجمع الكثافات ونضرب في عرض الخانة: ΣPΔf=1.25×1=1.25 V². زمنيًا، مجموع مربعات السجل 1+1+4+4=10، مقسومًا على ثماني قيم يعطي 1.25 V². متوسطا مربعات المقطعين هما 0.5 و2 V²؛ ومتوسطهما 1.25 V².

سبب المساواة في حالتنا هو بارسيفال: Σ|X|²=LΣ|x|². بعد القسمة على fsL والضرب في Δf=fs/L، يكون مجموع كثافات المقطع Σ|x|²/L. جمع الجانب الواحد يحفظ هذا المجموع، وتوسيط مقطعين متساويين كاملين بلا تداخل يعيد متوسط مربعات القيم الثماني.

هذه مراجعة عددية تحت نافذتنا المستطيلة ودون إزالة المتوسط. لا نعمم مساواتها بمتوسط مربعات السجل الخام على كل نافذة أو تداخل أو معالجة اتجاه. كما لا نحول V² إلى واط من دون معلومات كهربائية أخرى.

لماذا لا نوسّط المعاملات أولًا؟

لو وسّطنا U وV قبل تربيع المقادير، نحصل على [0,−1,0,−1]. مربعات المقادير [0,1,0,1]، والكثافة في جانب واحد [0,1/8,0]؛ عند 1 Hz نجد 0.125 V²/Hz، لا 1.25.

في خانة 1 Hz، متوسط مربعي المعاملين هو (|2|²+|−4|²)/2=10. أما مربع مقدار متوسطهما فهو |(2−4)/2|²=1. فرق العمليتين 9 قبل التطبيع، ثم يصبح 2×9/16=9/8 V²/Hz عند ضم الزوج المتناظر.

الفرق يصح لأي معاملين مركبين. إذا μ=(z1+z2)/2، فإن |μ|²=(|z1|²+|z2|²+2Re(z1z̄2))/4. بطرح هذا من متوسط المربعين، نحصل على (|z1|²+|z2|²−2Re(z1z̄2))/4=|z1−z2|²/4.

إذن متوسط مربع المقدار لا يقل عن مربع مقدار المتوسط، ويتساويان فقط عندما z1=z2. اتجاه المعاملين يدخل في الجمع المركب؛ أما التربيع إلى مقدار فيحسب مساهمة كل منهما قبل احتمال الإلغاء.

لإظهار الإلغاء كاملًا، استبدل المقطع الثاني بـ−u=[−1,0,1,0]. يصبح تحويله −U، فيكون متوسط التحويلين صفرًا. لكن طيف كل منهما [0,0.5,0]؛ متوسط الطيفين يبقى [0,0.5,0]. الإلغاء في المتوسط المركب لا يعني خلو المقطعين من قيم غير صفرية.

لا توجد عملية صحيحة لكل غرض من دون تحديد السؤال. توسيط الإشارات أو معاملات التحويل قد يناسب سؤالًا عن مكوّن متزامن؛ لكنه عملية مختلفة عن متوسط الكثافات الذي حسبناه هنا. لا نستبدل ترتيب الجمع والتربيع داخل تقديرنا.

المتوسط يخفي ترتيب تغير القدرة

السجل المفترض يبدأ بمقطع متوسط مربعاته 0.5 V²، يليه مقطع متوسط مربعاته 2 V². لنبدل المقطعين كاملين إلى [−2,0,2,0,1,0,−1,0]، مع الإعدادات نفسها.

بعد التبديل تصبح كثافتا المقطعين [0,2,0] ثم [0,0.5,0]. متوسطهما ما زال [0,1.25,0]. الجمع لا يحمل علامة تدل على أي مقطع جاء أولًا، رغم أن ترتيب مستوى متوسط المربعات انعكس.

إذا أردنا وصف هذا التغير بين ثانية وأخرى، نحتفظ بنتائج المقطعين وموقعيهما الزمنيّين بدل الاكتفاء بمتوسط واحد. وليس الطيف المتوسط طيفًا يعبر عن كل لحظة من السجل؛ إنه جمع محدد لنتائج المقاطع.

أرقامنا مفترضة، ولم ننفذ SciPy أو نقس إشارة. فرق ترتيب العمليات مثبت جبريًا، لكننا لم نفترض عملية عشوائية ساكنة ولم نقس تباين تقدير. لذلك لا نستنتج من هذا المثال ضمان إزالة الضوضاء أو مقدار التحسن الإحصائي.

عند حفظ النتيجة، سجّل معدل العينات وطول المقاطع والنافذة والتداخل ومعالجة المتوسط ونوع التوسيط والتطبيع. هذه الخيارات تحدد ما حسبناه؛ لا يكفي اسم طريقة ويلش وحده لإعادة الأرقام.