معيار سيلفستر: متى تكون المصفوفة موجبة التعريف؟

التناظر والمحددات التي نفحصها

نعمل معAᵀ=A وعناصر حقيقية. الموجبة التعريف تحققvᵀAv>0 لكلv≠0؛ المتجه الصفري يعطي0، ولذلك يستثنى من الشرط. [2]

Aₖ تضم أولk صفوف وأولk أعمدة. المحددΔₖ عدد، لا الكتلة نفسها. تشمل القائمةΔₙ=det(A)، لكن هذه القيمة الأخيرة لا تعوض بقية القائمة. [1]

نكتب صفوفA من اليسار إلى اليمين. الكتلة الأولى ذات العنصر2، والثانية[[2,−1],[−1,3]]، والثالثةA كلها. إذنΔ₁=2 وΔ₂=2×3−(−1)²=5.

بالتوسع على الصف الأول: Δ₃=2(3×2−1×1)−(−1)((−1)×2−1×0)=10−2=8. القيم الثلاث موجبة، والمصفوفة متناظرة، فينطبق المعيار. [1]

العنصر−1 لم يمنع النتيجة. المطلوب علامة التعبير التربيعي لكل متجه غير صفري، وليس علامة كل خانة في الجدول.

تأكيد المثال بثلاثة مربعات

اكتبv=(x,y,z)ᵀ. بالضرب نجدvᵀAv=2x²−2xy+3y²+2yz+2z². يمكن إعادة كتابته2(x−y/2)²+(5/2)(y+2z/5)²+(8/5)z².

نتحقق بالنشر: المربع الأول يعطي2x²−2xy+y²/2، والثاني يعطي5y²/2+2yz+2z²/5، والثالث8z²/5. جمعها يعيد المعاملات2،−2،3،2،2 نفسها.

كل معامل أمام مربع موجب. وإذا كان المجموع صفرًا، وجبz=0 من الحد الأخير، ثمy=0 من الثاني، ثمx=0 من الأول. إذن كل متجه غير صفري يعطي قيمة موجبة.

هذا برهان مستقل للمصفوفة المختارة، لا فحص لعدد قليل من المتجهات. أما تجربةv=(1,0,0) وحدها، رغم أنها تعطي2، فلا تختبر جميع الاتجاهات.

ظهر موجب التعريف مع خانتين سالبتين وأصفار. اقرأ المربعات بوصفها علاقة في المتغيرات الثلاثة، ولا تخلطها بتربيع عناصر المصفوفة.

برهان الشرطين في الحجم الثنائي

خذM=[[a,b],[b,d]] متناظرة حقيقية. تعبيرهاq(x,y)=ax²+2bxy+dy². إذا كانa>0، نكمل المربع: q=a(x+(b/a)y)²+((ad−b²)/a)y².

إذا كان أيضًاad−b²>0، فمعاملا المربعين موجبان. عندy≠0 يكون الحد الثاني موجبًا، وعندy=0 وx≠0 يكون الأول موجبًا؛ بذلك يكفي الشرطان.

بالعكس، إذا كانتM موجبة التعريف، فإنq(1,0)=a>0. وبعد ضمانa≠0 نختار(x,y)=(−b/a,1)، وهو متجه غير صفري؛ يعطيq=(ad−b²)/a>0، ومنهad−b²>0.

أثبتنا الضرورة والكفاية لكلa,b,d حقيقية. لا نقسم علىa قبل إثبات أنه موجب، ولا نكتفي بالمحدد إن كانa سالبًا.

مثلًاD=diag(−2,−3) محددها6>0، لكنq_D(1,0)=−2. تفشلΔ₁>0، ولا تكون موجبة التعريف.

شرطان لا تحذفهما من الاختبار

التناظر شرط للمبرهنة. [1] فيH=[[2,9],[0,2]] نجدΔ₁=2 وΔ₂=4 موجبين، لكنH غير متناظرة. تعبيرها2x²+9xy+2y² يعطي−5 عند(1,−1)، فلا يحقق شرط الإيجابية.

الموجبة شبه التعريف تعنيvᵀCv≥0 لكل متجه؛ تختلف عن الإيجابية الصارمة. [3] لا نستنتج اختبارها من تبديل> بـ≥ في قائمة المحددات المتقدمة.

للمصفوفةC=diag(0,−2) نجدΔ₁=0 وΔ₂=0، لكنq_C(0,1)=−2. عدم سلبية المحددين المتقدمين لم يثبت حتى شبه موجب التعريف.

قارنها بـE=diag(0,2): المحددان المتقدمان أيضًا0 و0، بينماq_E(x,y)=2y²≥0، ويصفر عند(1,0). هي موجبة شبه التعريف، وتفشل الموجبة الصارمة.

إذن القائمة0،0 وحدها لا تميزC منE. نقتصر هنا على معيار الإيجابية الصارمة، ولا نزعم صيغة عامة لاختبار شبه التعريف.

قبل الحكم، تحقق منAᵀ=A، وحدد الكتل المتقدمة بالترتيب، واحسب جميعΔₖ، ثم اطلب>0 لكل واحدة. في المثال الرئيسي دعمت النتيجة هوية المربعات الكاملة.