نظرية ستيوارت: احسب طول القطعة من الرأس إلى الضلع

الخلاصة السريعة

تربط نظرية ستيوارت أطوال أضلاع المثلث بطول القطعة من رأس إلى نقطة على الضلع المقابل. في مثالنا، حيث AB=12 و AC=10 و BC=14 و AP=4 و PB=8، نحصل على CP²=100، ومنه CP=10.

• لنضع a=BC و b=CA و c=AB و m=AP و n=PB و d=CP. تنص ستيوارت على ma²+nb²=c(d²+mn)، مع m+n=c. [1] النقطة P داخل القطعة AB، والمثلث غير منعدم المساحة.
• في المثال a=14 و b=10 و c=12، و m=4 و n=8. نحسب 4×196+8×100=1584، ثم d²=1584/12−32=100. نأخذ الجذر الموجب فنجد d=10؛ لا نعد 100 طولًا.
• الإحداثيات A=(0,0)، B=(12,0)، C=(2,4√6)، P=(4,0) تعطي CP²=(4−2)²+96=100. والبرهان العام ينتج من تربيع المسافات إلى A و B و P ثم توزيع طرفي الصيغة، حتى عندما يكون قدم ارتفاع C خارج القاعدة.
• المتوسط CM ينتهي عند M=(6,0)، فمربعه 112 وطوله 4√7. منصف الزاوية CQ يقسم AB بنسبة 10:14، فينتهي عند Q=(5,0)، ومربعه 105. أما الارتفاع CH فينتهي عند H=(2,0)، ومربعه 96. تختلف القطع الأربع في مثلثنا.
• ضع a² مع m، و b² مع n حسب التعريف؛ تبديلهما يعطي 1968 ومربع طول 132، وهو خاطئ لهذه النقطة P. ومساحتا ACP و BCP نسبتهما 4:8=1:2، لأن ارتفاعهما واحد؛ لا يشترط أن تكون CP متوسطًا أو منصفًا.
• تكبير كل الأطوال بعامل 2 يجعل CP=20 ومربعه 400، وطرفَي هوية ستيوارت 12672؛ فكل طرف كمية من درجة ثالثة في الطول. لا نستعمل صيغة الأجزاء الموجبة لنقطة خارج AB أو لأطوال لا تصنع مثلثًا صالحًا.

اربط كل رمز بقطعة محددة

اختر مثلثًا ABC أطواله AB=12 و AC=10 و BC=14. الأطوال تصلح لمثلث غير منعدم؛ مجموع 10 و 12 أكبر من 14، ومجموع كل زوج آخر أكبر من الباقي. ضع P داخل AB بحيث AP=4 و PB=8، فيكون مجموع الجزأين 12 كما يجب.

سنستعمل a للضلع BC، و b للضلع CA، و c للضلع AB. ونستعمل m للجزء AP، و n للجزء PB، و d لطول CP. هذه المطابقة جزء من الحل، لأن طولين مختلفين يدخلان الصيغة بوزنين مختلفين.

في هذه التسمية، صيغة ستيوارت ma²+nb²=c(d²+mn). [1] تسمح بعزل d² عندما نعرف أطوال الأضلاع وموضع P على القاعدة. لا يلزم أن تنصف CP زاوية الرأس أو أن تقع P في منتصف AB.

لاحظ أن AP يُضرب في مربع BC، وأن PB يُضرب في مربع CA. لا تختَر الوزن بمجرد قرب رمز من ضلع في الصورة؛ ارجع إلى التعريف المكتوب. سنقارن لاحقًا نتيجة التبديل بنتيجة الإحداثيات لكشف الخطأ.

يعرض الجدول أطوال القطع المعطاة ومربعاتها. إذا كانت وحدة الطول سنتيمترًا، يحمل عمود المربعات وحدة السنتيمتر المربع. لا نربّع 4 و 8 في الوزن نفسه؛ المطلوب m و n مضروبان في مربعَي الضلعين.

احسب مربع الطول ثم خذ الجذر

الطرف الأيسر هو 4×14²+8×10². يساوي 4×196+8×100=784+800=1584. والحد mn يساوي 4×8=32. إذن 1584=12(d²+32)، فنقسم على 12 لنحصل على 132=d²+32.

بطرح 32 نجد d²=100، ثم d=10. اختيار الجذر الموجب يعود إلى كون d طول قطعة. النتيجة −10 ليست طولًا آخر محتملًا، والعدد 100 يصف مربع الطول فقط.

راجع بالاتجاه العكسي: 12(100+32)=1584، فيتساوى الطرفان. هذا الفحص يراجع التعويض، لكنه لا يثبت أننا ربطنا a و b بالنقطتين الصحيحين؛ لذلك نستخدم الإحداثيات في القسم التالي كفحص مستقل.

يمكن أيضًا البدء بالصورة المعزولة d²=(ma²+nb²)/c−mn. هنا الجزء الأول 1584/12=132، ثم ننقص 32. لا تنقص mn داخل البسط دون ضربه في c؛ الصيغة الصحيحة المكافئة في البسط تتضمن الحد cmn.

برهان من الإحداثيات وفحص مستقل للمثال

للمثال، ضع A=(0,0) و B=(12,0) و C=(2,4√6). مربع AC هو 2²+(4√6)²=4+96=100، ومربع BC هو 10²+96=196. إذن الأطوال 10 و 14 فعلًا. ومع P=(4,0)، يكون CP²=(4−2)²+96=100، مستقلًا عن التعويض في ستيوارت.

للبرهان العام، اختر A=(0,0)، B=(c,0)، C=(x,h)، P=(m,0). نفرض c موجبًا و h موجبًا، و m موجبًا وأصغر من c. وليكن n=c−m. لا نفرض أن x بين 0 و c؛ قد يقع قدم الارتفاع خارج الضلع.

مربعات المسافات هي a²=(c−x)²+h²، و b²=x²+h²، و d²=(m−x)²+h². عوّض الأولين في ma²+nb²، واستعمل n=c−m. بعد التوزيع تختفي الحدود المتعاكسة، ويبقى مجموع cx²+ch² و mc²−2mcx.

على الطرف الآخر، عوّض d² و n في c(d²+mn). داخل القوس، ينتج من (m−x)² مربع m، لكن m(c−m) يحتوي على سالب مربعه؛ فيختفيان. يبقى x²+h²+mc−2mx. ضربه في c يعطي مجموع cx²+ch² و mc²−2mcx نفسه، فتثبت الهوية.

يعمل هذا البرهان لكل x حقيقي ولكل h موجب مع الشروط المذكورة. فهو لا يعتمد على كون الشكل قريبًا من رسمنا أو على زاوية قائمة في ABC. في مثلثنا، الارتفاع من C عمودي على AB، لكنه ليس القطعة CP لأن نقطتي نهايتهما مختلفتان.

قارن المتوسط والمنصف والارتفاع

المتوسط يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل. [2] إذا كانت M منتصف AB، فـ AM=MB=6. بالتعويض في ستيوارت، نحصل على CM²=(2a²+2b²−c²)/4. هذه حالة خاصة عند تساوي جزأي القاعدة، لا شرط للهوية العامة.

في أرقامنا CM²=(392+200−144)/4=112، ومنه CM=4√7. يطابق ذلك حساب الإحداثيات: من C=(2,4√6) إلى M=(6,0) تكون الإزاحة الأفقية 4 والرأسية 4√6، ومجموع مربعيهما 16+96=112.

منصف زاوية C الداخلي يقطع AB عند Q بنسبة AQ/QB=AC/CB. [3] هنا النسبة 10/14=5/7، ومع مجموع الجزأين 12 نجد AQ=5 و QB=7. لا نستبدل النسبة بـ 1:1، لأن الضلعين المتجاورين للزاوية غير متساويين.

عند Q، طرف ستيوارت الأيسر 5×196+7×100=1680. نقسم على 12 ونطرح 5×7=35، فنجد CQ²=140−35=105. لذلك CQ=√105. المنصف الداخلي أطول قليلًا من CP ذات الطول 10 في هذا المثال، وليس مساويًا لها.

أما قدم الارتفاع فهو H=(2,0)، لأن C إحداثيه الأفقي 2. يصبح AH=2 و HB=10، والطرف الأيسر 2×196+10×100=1392. نقسم على 12 ونطرح 20، فنحصل على CH²=116−20=96، أي CH=4√6.

الجدول والرسم يقارنان القطع في المثلث نفسه؛ لم نغير أضلاعه. عمودا جزأي القاعدة يحددان نقطة النهاية، وعمود مربع الطول يسبق الجذر. في هذا المثال، 96 أصغر من 100، ثم 105، ثم 112؛ وبما أن الأطوال موجبة، فالترتيب نفسه لأطوال القطع.

تبديل الأوزان يعطي نقطة غير التي قصدتها

إذا استعملنا 4×100+8×196 بدل المطابقة الصحيحة، نحصل على 1968. وبالقسمة على 12 ثم طرح 32، يظهر 132 بدل 100. ليس هذا فرق تقريب؛ إنه ناتج إسناد مربع كل ضلع إلى الوزن الآخر.

الإحداثيات حسمت CP²=100، لذلك 132 لا يصف النقطة P=(4,0). في المثلث نفسه، لو اخترنا نقطة أخرى عند (8,0)، لكان مربع بعدها عن C يساوي (8−2)²+96=132. التبديل يوافق موضعًا آخر هنا، ولا يغير موضع P الذي عرّفته المسألة.

قارن الحالتين في الجدول. تستعمل الحالة الخاطئة مجموع الأضلاع الصحيح والأجزاء 4 و 8، لكن مطابقة الأوزان غير صحيحة. لذلك فحص m+n=c وحده لا يكفي لكشفها؛ نحتاج أيضًا إلى تثبيت a=BC و b=CA.

ومن الأخطاء تسمية كل قطعة من رأس إلى القاعدة متوسطًا. في مثالنا P ليست المنتصف، وليست قدم الارتفاع، ولا نقطة منصف الزاوية. مع ذلك تعمل ستيوارت عليها لأن المطلوب هو قطعة تصل الرأس C بنقطة على AB.

المساحة والتكبير وحدود استعمال الصيغة

المثلثان ACP و BCP لهما الارتفاع نفسه إلى خط AB. لذا نسبة مساحتيهما AP/PB=4/8=1/2. في إحداثياتنا المساحة الكلية 12×4√6/2=24√6؛ مساحة ACP هي 8√6 ومساحة BCP هي 16√6. تساوي المساحتين كان سيستلزم تساوي الجزأين، وهو ما لا يحدث عند P.

تكبير جميع الأطوال بعامل 2 يجعل a=28 و b=20 و c=24، و m=8 و n=16. تصبح CP=20 و d²=400. الطرف الأيسر 8×784+16×400=12672، والآخر 24(400+128)=12672. كبر كل طرف بعامل 8، لأن كل حد حاصل ضرب ثلاثة أطوال.

يمكن تحريك نقطة النهاية إلى (t,0) مع t موجب وأصغر من 12. في مثلثنا، مربع المسافة إلى C هو d²=t²−4t+100، ويساوي (t−2)²+96. لذلك أقل طول داخل القاعدة عند t=2، وهو الارتفاع. لا تجعل المنتصف عند t=6 أقصر تلقائيًا؛ إنه يؤدي وظيفة مختلفة.

الصيغة المعروضة هنا تستعمل m و n طولين موجبين ومجموعهما c. إذا أخذت P=(16,0) خارج AB، فالمسافتان AP=16 و PB=4، ومجموعهما 20 لا 12. لا تدخل هذين الطولين في الهوية نفسها؛ تطبيقات الامتداد تحتاج اتفاقًا مختلفًا للإشارات لم نستعمله هنا.

كذلك لا تبدأ بأطوال 10 و 14 و 25؛ مجموع 10 و 14 أصغر من 25 فلا تصنع مثلثًا. وإذا كانت القاعدة 24 مع الضلعين 10 و 14، يصبح الشكل منعدم المساحة. تحقق صلاحية المعطيات ومكان P، ثم ثبّت الرموز ووحّد الوحدات واحسب مربع الطول قبل الجذر.