مبرهنة جونسون: دائرة رابعة لها نصف قطر الدوائر الثلاث

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة جونسون على أن ثلاث دوائر متساوية تمر بنقطة H، وتملك لكل زوج تقاطعًا آخر يكوّن مثلثًا، تجعل الدائرة المارة بالتقاطعات الثلاثة الأخرى مساوية لها في نصف القطر. [1] نختار بناءً غير منحل: دوائر مختلفة وتقاطعًا ثانيًا مختلفًا عن H لكل زوج. في مثالنا أنصاف الدوائر الأربع 5.

• مربعات أبعاد U و V و W عن H تساوي 25، ولذلك تمر الدوائر الثلاث ذات نصف القطر 5 بـ H. مراكزها مختلفة، ولا نساوي المركز بنقطة التقاطع.
• تقاطع دائرتي V و W الآخر هو A=(−3,9)، وتقاطع W و U هو B=(2,4)، وتقاطع U و V هو C=(5,5). معادلات الدوائر الأصلية x²+y²−10x=0، x²+y²−10y=0، x²+y²+6x−8y=0.
• مركز الدائرة الرابعة O=(2,9). الفروق A−O=(−5,0)، B−O=(0,−5)، C−O=(3,−4)، ومربع طول كل فرق 25. إذن معادلتها (x−2)²+(y−9)²=25.
• إذا جعلنا H أصل المتجهات وكانت U و V و W متساوية الطول R، فإن A=V+W و B=W+U و C=U+V، ثم O=U+V+W. طرح O من كل رأس يعيد سالب أحد المراكز، فيثبت نصف القطر R. وتكون H ملتقى ارتفاعات ABC.
• عند استبدال W بالمركز W′=(1,1) ونصف القطر√2، تبقى H على الدوائر الثلاث. لكن التقاطعات الأخرى A′=(40/17,10/17)، B′=(10/17,40/17)، C=(5,5) تعطي O′=(25/8,25/8) ومربع نصف قطر 225/32؛ فلا تعود الدائرة الرابعة مساوية للأصلية.
• التكبير بعامل 2 يجعل نصف القطر 10 ومركز الرابعة (4,18). ولإزاحة الشكل إلى H=(2,−1)، تصبح O=(4,8) ويبقى نصف القطر 5. عند استخدام إحداثيات عامة تكون O=U+V+W−2H؛ صيغة الجمع وحدها تفترض H أصلًا.

ابدأ بثلاث دوائر متساوية تمر بنقطة واحدة

نقطة H تقع على محيط كل دائرة، لا داخل الأقراص فحسب. نختار التقاطع الآخر لكل زوج من الدوائر، ونسمي هذه النقاط A و B و C. في بناء جونسون غير المنحل، نصف قطر دائرة ABC يساوي نصف قطر الدوائر الثلاث الأولى. [1] المساواة لا تعني أن مراكز الدوائر تتطابق.

في مثالنا H=(0,0)، والمراكز U=(5,0)، V=(0,5)، W=(−3,4). لدينا HU²=HV²=HW²=25، لأن 5²=25 و (−3)²+4²=25. لذلك نصف القطر 5 يجعل H على كل محيط. المراكز تقع بدورها على دائرة نصف قطرها 5 ومركزها H.

المراكز ليست هي التقاطعات الأخرى. عندما نقول «دائرة U» نقصد الدائرة التي مركزها U، وليس أن U نقطة على محيطها. نسمي A تقاطع V و W الآخر، و B تقاطع W و U الآخر، و C تقاطع U و V الآخر، كي يقابل كل رأس المركز غير المشارك في تكوينه.

نفترض مراكز مختلفة وتقاطعًا ثانيًا مختلفًا عن H لكل زوج، ثم ثلاث نقاط أخرى غير مستقيمة. إذا تكررت دائرة، أو تماس زوج عند H فقط، لم يعد وصف التقاطعات الأخرى الثلاثة يعمل كما هو. سنحسب حالة تماس محددة في نهاية المقال.

احسب التقاطعات الأخرى من المعادلات

دائرة U هي (x−5)²+y²=25، أي x²+y²−10x=0. ودائرة V هي x²+(y−5)²=25، أي x²+y²−10y=0. ودائرة W هي (x+3)²+(y−4)²=25، أي x²+y²+6x−8y=0.

للدائرتين U و V، الطرح يعطي x=y. بالتعويض تصبح 2x²−10x=0، أي 2x(x−5)=0. الجذر 0 يعيد H، والجذر 5 يعطي C=(5,5). فالمركزان (5,0) و (0,5) يختلفان عن التقاطعين H و C.

لدائرتي V و W، الطرح يعطي 6x+2y=0، أي y=−3x. التعويض في دائرة V يعطي 10x²+30x=0؛ الجذران 0 و −3. لذلك التقاطع الآخر A=(−3,9). وللدائرتين W و U، الطرح يعطي 16x−8y=0، أي y=2x؛ ثم 5x²−10x=0، ومنه B=(2,4).

نستطيع فحص A مباشرة: بالنسبة إلى V، الفرق (−3,4) ومربع طوله 25؛ وبالنسبة إلى W، الفرق (0,5) ومربعه 25. عند B الفرقان إلى W و U هما (5,0) و (−3,4)، وعند C الفرقان إلى U و V هما (0,5) و (5,0). لا نعتمد على مواضع التقاطعات في الصورة وحدها.

اختبر مركز الدائرة الرابعة ونصف قطرها

نأخذ O=(2,9). عند A=(−3,9) يكون A−O=(−5,0)، وعند B=(2,4) يكون B−O=(0,−5)، وعند C=(5,5) يكون C−O=(3,−4). مربعات الأبعاد إلى O هي 25 و 25 و 9+16=25. إذن النقاط الثلاث تقع على (x−2)²+(y−9)²=25.

النقاط A و B و C ليست مستقيمة؛ مثلًا متجها AB=(5,−5) و AC=(8,−4) لهما محدد 20. لذلك تحدد دائرة واحدة، ومركزها O ونصف قطرها 5. لم نفرض أن هذه الدائرة تمر أيضًا بـ H؛ مربع OH هو 85، فتكون H خارج الدائرة الرابعة لأن 85 أكبر من 25.

يجمع الجدول المراكز ومربعات أنصاف الأقطار. ظهور 25 في العمود الأخير يعني أن جميع الأنصاف 5، لا 25. المراكز U و V و W و O مختلفة في مثالنا، ومع ذلك تتساوى الدوائر في الحجم.

لا تكفي أي ثلاثة تقاطعات من صورة فيها عدة دوائر. النقاط المطلوبة هنا هي التقاطعات الأخرى للأزواج بعد استبعاد H المشتركة. كما أن مجرد وجود نقطة مشتركة لدوائر غير متساوية لا يثبت مساواة دائرة التقاطعات بها؛ سنفحص ذلك بمثال مضاد.

برهان متجهي يفسر المساواة وملتقى الارتفاعات

ننقل أصل الإحداثيات إلى H، ونكتب U و V و W لمتجهات المراكز. أطوالها R لأن الدوائر تمر بالأصل ولها نصف القطر R نفسه. نفترض المراكز مختلفة، ولا يوجد زوج متعاكس مجموع متجهيه 0، حتى يبقى التقاطع الآخر مختلفًا عن H.

النقطة V+W تقع على دائرة V لأن فرقها عن V هو W، وعلى دائرة W لأن فرقها عن W هو V؛ طول الفرقين R. ولأن V+W غير صفر، فهي التقاطع الآخر A. بالطريقة نفسها B=W+U و C=U+V.

ضع O=U+V+W. عندئذ A−O=−U و B−O=−V و C−O=−W. أطوال المتجهات الثلاثة R؛ فتكون دائرة ABC ذات المركز O ونصف القطر R، وهذا يثبت نتيجة جونسون لهذه الشروط من دون اختيار أرقام خاصة.

كذلك تكون H ملتقى ارتفاعات ABC في هذا البناء. [1] للتحقق المتجهي، اتجاه BC هو V−W، ومتجه HA هو V+W. حاصل الضرب النقطي (V+W)·(V−W)=|V|²−|W|²=0؛ لذلك AH عمودي على BC. يتكرر الحساب للارتفاعين الآخرين.

في الأرقام المختارة، BC=(3,1) و HA=(−3,9)، فيكون حاصل الضرب −9+9=0. كما أن CA=(−8,4) و HB=(2,4) يعطيان −16+16=0، و AB=(5,−5) و HC=(5,5) يعطيان 25−25=0. تقع H خارج المثلث، ولا يمنع ذلك كونها ملتقى الارتفاعات.

نقطة مشتركة مع أنصاف مختلفة: النتيجة قد تفشل

نبقي U=(5,0) و V=(0,5) ونصف قطر كل منهما 5، ثم نأخذ W′=(1,1) ونصف قطر√2. مربع بعد W′ عن H هو 2؛ لذلك تظل H=(0,0) على الدوائر الثلاث. الدائرة الثالثة الآن x²+y²−2x−2y=0، لكن الأنصاف لم تعد متساوية.

طرح معادلتها من دائرة U يعطي y=4x. التعويض في x²+y²−10x=0 يعطي 17x²−10x=0، فتكون B′=(10/17,40/17) التقاطع الآخر. وبالتماثل مع دائرة V تكون A′=(40/17,10/17). يبقى C=(5,5) كما كان.

دائرة A′B′C لها المركز O′=(25/8,25/8). لأن A′ و B′ صورتان متبادلتان في x=y، يكون المركز على هذا المستقيم. مساواة بعده عن A′ وبعده عن C تعطي الإحداثي 25/8. مربع نصف القطر من C هو 2×(5−25/8)²=225/32.

القيمة 225/32 تختلف عن 25 وعن 2، وهما مربعا نصفي القطر الأصليين. هذا المثال يحفظ نقطة التقاطع المشتركة وثلاثة تقاطعات أخرى مختلفة، لكنه يفقد مساواة الأنصاف؛ لذلك لا نعمم مبرهنة جونسون بمجرد وجود H. المقارنة في الجدول تستعمل مربعات الأنصاف لتجنب التقريب.

التكبير والإزاحة وحالة التماس

عند تكبير المثال الصحيح بعامل 2، تصبح المراكز U=(10,0)، V=(0,10)، W=(−6,8)، والتقاطعات A=(−6,18)، B=(4,8)، C=(10,10). مركز الرابعة O=(4,18)، ونصف قطرها 10. كل مربع بعد من رؤوس المثلث إلى O يساوي 100.

لنعد إلى نصف القطر 5 ونزيح كل نقطة بمقدار (2,−1). تصبح H=(2,−1)، U=(7,−1)، V=(2,4)، W=(−1,3)، و O=(4,8). لا يتغير نصف القطر. لكن جمع الإحداثيات المطلقة للمراكز الثلاثة يعطي (8,6)، لا O؛ الصيغة الصحيحة O=U+V+W−2H.

سبب الحد −2H أن متجهات المراكز من H هي U−H و V−H و W−H. جمعها يعطي متجه O−H، ثم نضيف H للعودة إلى الإحداثيات المطلقة. وكذلك تصبح صيغ التقاطعات A=V+W−H و B=W+U−H و C=U+V−H.

إذا أخذنا مركزين (5,0) و (−5,0)، ونصف قطر 5 لكليهما، صارت معادلتا الدائرتين x²+y²−10x=0 و x²+y²+10x=0. الطرح يعطي x=0، ثم y²=0؛ النقطة الوحيدة المشتركة H=(0,0). إنهما متماستان خارجيًا، ولا توجد نقطة أخرى مختلفة نسميها في البناء المعتاد.

قبل تطبيق المبرهنة، تحقق من نصف القطر المشترك ومن مرور المحيطات بـ H، ثم من التقاطعات الأخرى المختلفة. احسب الدائرة الرابعة من هذه النقاط وافحص أبعادها؛ وإذا نقلت أصل الإحداثيات، انتبه إلى معنى المتجهات قبل استعمال صيغة الجمع.