متباينة هادامار: حد المحدد من أطوال الصفوف

الخلاصة السريعة

القيمة المطلقة للمحدد لا تتجاوز حاصل ضرب الأطوال الإقليدية للصفوف. في المثال المتعامد الطرفان 150؛ وبعد إضافة الصف الأول إلى الثاني يبقى المحدد 150، بينما يرتفع حد الصفوف إلى 150√2.

• لمصفوفة حقيقية مربعة، تنص هادامار على|det A| ≤ ∏‖rᵢ‖، حيث rᵢ صفوفها. [1][2] إذا كانت الصفوف غير صفرية، تتحقق المساواة عند تعامد كل زوج. وجود صف صفري يعطي مساواة 0=0، حتى لو لم تتعامد الصفوف الباقية.
• صفوف A هي (3,4,0)، (−4,3,0)، (0,0,6). أطوالها 5 و 5 و 6، وضرب كل زوج نقطيًا صفر، فيساوي المحدد 150. بعد تغيير الصف الثاني إلى (−1,7,0)، نسمي المصفوفة B؛ أطوال صفوفها 5 و 5√2 و 6، فيكون حدها 150√2.
• في B، معامل الجزء الموازي للصف الأول 25/25=1. طرح الصف الأول من الثاني يترك (−4,3,0)، بطول 5. بذلك نحصل على 150 من 5×5×6. وإذا أضفنا t أمثال الصف الأول إلى الثاني في A، يبقى المحدد 150، ويكون مربع حد الصفوف 22500(1+t²).
• الصف الثاني (6,8,0) مع الأول (3,4,0) والثالث (0,0,6) يعطي محددًا صفرًا وحدًا 300؛ فلا توجد مساواة. جعل الثالث صفريًا يعطي 0=0، مع بقاء ضرب الأول والثاني 50. وتبديل أول صفين في A يعطي −150، لكن قيمته المطلقة 150.
• أعمدة B هي (3,−1,0)، (4,7,0)، (0,0,6). حد الأعمدة 30√26 أضيق من حد الصفوف 150√2. مربعات القيم مرتبة: 22500 للمحدد، 23400 لحد الأعمدة، 45000 لحد الصفوف. كلا الحدين صحيح.
• تكبير كل عنصر في A بعامل 2 يجعل محددها 1200، لأن ثلاثة صفوف تكبر بعامل 2. لا نستعمل صيغة المحدد هذه لمصفوفة مستطيلة، ولا نستنتج أن المحدد صفر من كونه أقل من الحد. أمثلتنا حقيقية منتهية بأطوال إقليدية.

اقرأ الصف متجهًا واحسب طوله

نكتب صفوف المصفوفة A بالترتيب r₁=(3,4,0)، r₂=(−4,3,0)، r₃=(0,0,6). كل صف متجه له ثلاث مركبات. مربع طوله مجموع مربعات مركباته. لذلك مربعَا طول الأول والثاني 25، ومربع طول الثالث 36، فتكون الأطوال 5 و 5 و 6.

في مصفوفة حقيقية مربعة، تقارن المتباينة القيمة المطلقة للمحدد بحاصل ضرب أطوال الصفوف. [1] نرمز إلى المحدد نفسه بـ det A، وإلى قيمته المطلقة بـ|det A|. الرمز∏ يعني ضرب أطوال جميع الصفوف. السالب في أحد العناصر لا يختفي من حساب المحدد، لكنه يربع عند حساب طول الصف.

نوسع محدد A باستخدام الصف الثالث، فنضرب 6 في محدد الجزء ذي الصفين (3,4) و (−4,3). هذا الجزء يعطي 3×3−4×(−4)=25، فيكون المحدد 6×25=150. حاصل ضرب الأطوال 5×5×6=150 أيضًا.

الآن أضف الأول إلى الثاني: الناتج (−1,7,0). نسمي المصفوفة الجديدة B. يعرض الجدول صفوف B وأطوالها؛ لا نخلط بينها وبين صفوف A القديمة. مربع طول الصف الثاني الجديد 1+49=50، وطوله 5√2، لا 50.

الجزء العمودي يفسر الحد

الضرب النقطي لصفين هو مجموع حاصلَي ضرب المركبات المتناظرة أو مجموع ثلاثة منتجات هنا. في A، ضرب الصفين الأول والثاني −12+12=0، والصف الثالث عمودي على كليهما لأن مركبتيهما الثالثة صفر. في B، ضرب الأول والثاني −3+28=25، فالتعامد بينهما زال.

معامل إسقاط صف B الثاني على الأول هو 25/25=1: البسط للضرب النقطي، والمقام لمربع طول الأول. اطرح الأول من الثاني، فيبقى (−4,3,0). هذا الجزء عمودي على الأول وطوله 5. الصف الثالث (0,0,6) عمودي على مستواهما وطوله 6.

هكذا يتكون الحجم من طول 5، وارتفاع عمودي 5، وارتفاع ثالث 6: الناتج 150. أما ضرب أطوال الصفوف الخام في B فيستعمل 5√2 بدل الارتفاع 5، فيعطي 150√2. الرسم الرئيسي يعرض متوازيَي الأضلاع في مستوى أول صفين، ومساحة كل قاعدة 25؛ الارتفاع الثالث 6 مكتوب في الشرح ولا يظهر كأنه طول داخل هذا المستوى.

لصفين حقيقيين (a,b) و (c,d)، التوزيع يعطي (ad−bc)²+(ac+bd)²=(a²+b²)(c²+d²). إذن الفرق بين مربع حد الصفوف ومربع المحدد هو مربع الضرب النقطي. هذا يثبت المقارنة في بعدين ويبين سبب المساواة عند التعامد، بدل الاعتماد على مظهر الرسم.

وفي الحالة المستقلة العامة، نطرح الإسقاطات على الصفوف السابقة للحصول على صفوف متعامدة. هذه العمليات تحفظ المحدد، ولا تزيد طول أي صف. القيمة المطلقة لمحدد الصفوف المتعامدة حاصل ضرب أطوالها، فتثبت المقارنة. [2] إذا كانت الصفوف تابعة فالمحدد صفر، والحد غير سالب.

محدد ثابت لا يعني حدًا ثابتًا

في B، حساب الجزء الثنائي يعطي 3×7−4×(−1)=25، ثم 6×25=150. تغيير الصف الثاني لم يغير قيمة هذا الجزء، رغم زيادة طول الصف. العملية التي فعلناها هي إضافة صف كامل إلى آخر، وليست تغيير خانة واحدة كيفما اتفق.

يمكن فحص ذلك لكل عدد حقيقي t. ابدأ من A واجعل الصف الثاني (−4+3t,3+4t,0). المحدد الثنائي 3(3+4t)−4(−4+3t)=25، فيبقى المحدد الثلاثي 150. مربع طول الصف الجديد 25(1+t²)، ولذلك مربع حاصل ضرب أطوال الصفوف 22500(1+t²).

الفرق بين هذا المربع ومربع المحدد 22500t². عندما t=0 يعود التعامد وتتحقق المساواة. وعند أي t غير صفري يكون الفرق موجبًا. الاختيار t=1 هو B، ويعطي 45000 مقابل 22500. هذه هوية لكل t، وليست تخمينًا من قيم قليلة.

يظهر الرسم الداخلي تجزئة الصف الثاني إلى الصف الأول والجزء العمودي (−4,3). جميع السهام في مستوى xy؛ المركبة الثالثة للأول والثاني صفر. طول كل جزء 5، وهما متعامدان، فمربع طول مجموعهما 5²+5²=50. لا نجمع الطولين فنقول إن طول الصف الثاني 10.

فرّق بين صف تابع وصف صفري ومحدد سالب

استبدل الصف الثاني بـ (6,8,0)، مع بقاء الأول (3,4,0) والثالث (0,0,6). الثاني ضعف الأول، فالمحدد الثنائي 3×8−4×6=0، والمحدد الثلاثي صفر. لكن أطوال الصفوف 5 و 10 و 6، فيكون حدها 300. انعدام المحدد وحده لا يعني مساواة هادامار.

إذا جعلنا الثالث (0,0,0) في المثال السابق، يصبح حاصل ضرب الأطوال صفرًا أيضًا. نحصل على 0=0، رغم أن ضرب الأول والثاني النقطي 50 لا يساوي صفرًا. لذلك لا نصف المساواة بأنها دليل على تعامد كل الصفوف دون استبعاد الصف الصفري.

أما تبديل أول صفين في A فيعطي محددًا −150، وتبقى الأطوال 5 و 5 و 6. المطلوب مقارنة|det A|، فتكون 150=150. استعمال المحدد السالب مباشرة يخفي دقة الحد، ويجعل تفسير المساواة مضللًا.

الجدول يغير صفًا أو ترتيبًا محددًا في كل حالة، ولا يجمع كل التغييرات في مصفوفة واحدة. «صف صفري» هنا يعني الصف الثالث الصفري مع أول صفين (3,4,0) و (6,8,0).

قد يكون حد الأعمدة أضيق

يمكن تطبيق المتباينة على الأعمدة أيضًا، باستخدام منقول المصفوفة الذي يبدل الصفوف والأعمدة ويحفظ المحدد. [2] لا يشترط أن يتساوى حاصل ضرب أطوال الصفوف مع حاصل ضرب أطوال الأعمدة.

في B، الأعمدة (3,−1,0)، (4,7,0)، (0,0,6). مربعات أطوالها 10 و 65 و 36. حاصل ضرب الأطوال 6√650=30√26. مربعه 23400، بينما مربع حد الصفوف 45000 ومربع المحدد 22500. لذلك حد الأعمدة أقرب إلى 150 في هذا المثال، لكنه ليس مساواة.

كلا الطرفين اللذين نقارنهما غير سالب، لذا يمكن ترتيب الحدين بمقارنة مربعيهما. لا نعمم من B أن الأعمدة تعطي دائمًا الحد الأفضل. احسب الحدين إذا احتجت إلى تقدير أضيق، ثم خذ الأصغر منهما.

التكبير والأبعاد لا يغيران معنى المقارنة

اضرب كل عنصر في A في 2. تصبح أطوال صفوفها 10 و 10 و 12، فيكون حاصل ضربها 1200. المحدد أيضًا 1200؛ إذ تكبر كل واحدة من الصفوف الثلاثة بعامل 2، فيظهر العامل 2³=8. أما ضرب الصف الأول وحده بـ −2 فيعطي محددًا −300 وقيمة مطلقة 300.

الأطوال هنا إقليدية: الجذر التربيعي لمجموع مربعات العناصر الحقيقية. لم نستبدلها بمجموع القيم المطلقة أو بمتوسط العناصر. إذا كانت مركبات الصفوف أطوالًا بوحدة واحدة في ثلاثة أبعاد، فإن المنتجات والحجم يحملان مكعب هذه الوحدة.

ندرس مصفوفات حقيقية مربعة منتهية، وأمثلتنا 3×3. المصفوفة المستطيلة لا تملك المحدد المعتاد الذي نستعمله هنا. حد علوي موجب لا يحدد قيمة واحدة للمحدد ولا يثبت قابليته للعكس؛ مثال الصفين التابعين أعطى حدًا 300 ومحددًا صفرًا.

ابدأ بتثبيت الصفوف والأعمدة، واحسب مربعات الأطوال والمحدد كلًا على حدة. استعمل القيمة المطلقة، وافحص وجود صف صفري قبل تفسير المساواة. إذا استعملت حذف الإسقاطات، فاحسب الارتفاع العمودي بدل الطول الخام المائل.