نظرية منصف الزاوية: لماذا لا يقسم الضلع إلى نصفين؟

الخلاصة السريعة

إذا كان AD منصف الزاوية الداخلية عند A، فإنه يحقق BD/DC=AB/AC. [1] لذلك عندما AB=13 و AC=15 و BC=14، تكون BD=13/2 و DC=15/2. يتساوى الجزآن فقط عندما يتساوى الضلعان AB و AC.

• في مثلث غير منعدم، يصل منصف الزاوية الداخلية A إلى D داخل BC، ويحقق BD/DC=AB/AC. [1] النسبة تخص الضلعين اللذين يحيطان بالزاوية. لا تجعل BC طرفًا في نسبتهما، ولا تخلط تنصيف الزاوية بتحديد منتصف الضلع.
• مثالنا A=(0,12)، B=(−5,0)، C=(9,0). الأطوال AB=13 و AC=15 و BC=14. نقسم 14 إلى 28 جزءًا نسبيًا؛ قيمة الجزء 1/2، فنجد BD=13/2 و DC=15/2، والنقطة D=(3/2,0). خط AD هو y=12−8x.
• المثلثان ABD و ADC يشتركان في ارتفاع 12 عن القاعدة. مساحتاهما 39 و 45، ونسبتهما 13/15. تساوي نصفي الزاوية يجعل نسبة المساحتين AB/AC أيضًا، فتثبت النسبة. والعكس صحيح للنقطة الداخلية، لأن نسبة موجبة محددة تعين نقطة واحدة على BC.
• مربع طول المنصف الداخلي هو AD²=bc(1−a²/(b+c)²)، حيث a=BC و b=AC و c=AB. [2] في مثالنا AD²=585/4، وطوله 3√65/2. المتوسط AM يصل M=(2,0) وطوله 2√37، والارتفاع AH يصل H=(0,0) وطوله 12؛ الثلاثة مختلفة.
• المنصف الخارجي يقسم خط الضلع المقابل خارجيًا بنسبة الضلعين المجاورين عندما يوجد التقاطع. [3] في مثالنا خطه y=12+x/8، ويقطع القاعدة عند X=(−96,0). الأطوال BX=91 و CX=105، والنسبة 13/15. اتجاهه عمودي على اتجاه المنصف الداخلي.
• إذا تساوى AB و AC، التقى المنصف الداخلي منتصف BC، وكان المنصف الخارجي موازيًا للقاعدة، فلا يوجد تقاطع محدود معها. التكبير بعامل 2 يحافظ على النسب ويضاعف الأطوال؛ D=(3,0)، و AD²=585، والمساحة 336 بدل 84. استبعد الأطوال التي لا تكوّن مثلثًا ووحد المقاييس.

قسم القاعدة بنسبة الضلعين المجاورين

في المثلث ABC، يعني منصف الزاوية الداخلية عند A أن الزاويتين BAD و DAC متساويتان. نظرية منصف الزاوية تعطي BD/DC=AB/AC. [1] النقطة D داخل الضلع BC، والأطوال في هذا الكسر موجبة. هذه صيغة للنسبة، وليست قاعدة تقول إن BD=DC دائمًا.

اختر A=(0,12)، B=(−5,0)، C=(9,0). من فيثاغورس، AB²=5²+12²=169، و AC²=9²+12²=225، فتكون AB=13 و AC=15. القاعدة BC طولها 9−(−5)=14، ومساحة المثلث 14×12/2=84.

نحتاج BD/DC=13/15. مجموع الأجزاء النسبية 13+15=28؛ قيمة الجزء 14/28=1/2. إذن BD=13×(1/2)=13/2، و DC=15×(1/2)=15/2. مجموعهما 14، فتطابق القاعدة كاملة.

لا تكتب BD=14×13/15؛ المقام 15 يصف عدد أجزاء DC، وليس عدد أجزاء القاعدة كلها. عند معرفة طول BC، استعمل BD=BC·AB/(AB+AC)، و DC=BC·AC/(AB+AC). بذلك تحفظ مجموع الجزأين ونسبتهما معًا.

ابدأ من B عند x=−5، وتحرك 13/2 نحو C؛ تصل إلى x=−5+13/2=3/2. لذلك D=(3/2,0). يصل AD الرأس (0,12) بالنقطة (3/2,0)، فميله −8 ومعادلته y=12−8x. وصف الإحداثيات يحدد موضع المنصف دون قياس الرسم.

برهان بالمساحات وعكس داخلي واضح

لنرمز لمساحة ABD بالعدد K₁، ولمساحة ADC بالعدد K₂. لهما الارتفاع نفسه من A إلى خط BC، لذا K₁/K₂=BD/DC. في المثال، K₁=(13/2)×12/2=39، و K₂=(15/2)×12/2=45؛ ومجموعهما 84.

إذا كان AD منصفًا، فاكتب α لكل نصف من الزاوية A. باستعمال ضلعين والزاوية بينهما، K₁=AB·AD·sin(α)/2 و K₂=AC·AD·sin(α)/2. العاملان AD و sin(α) يظهران في الطرفين، فيُلغيان من النسبة، ونجد K₁/K₂=AB/AC.

لأن المثلث غير منعدم، يقع نصف زاويته بين 0 و 90 درجة، فجيب α موجب؛ و AD غير صفر. لذلك القسمة السابقة صحيحة. بجمع طريقتي حساب نسبة المساحتين، نحصل على BD/DC=AB/AC، كما تتطلب النظرية.

والعكس داخليًا: إذا كانت D داخل BC واستوفت النسبة المطلوبة، فإن AD منصف للزاوية A. ابدأ بالمنصف الداخلي الحقيقي، وليقطع BC عند D*. البرهان السابق يحدد BD*/D*C=AB/AC. النسبة الموجبة مع مجموع ثابت BC تحدد جزء BD واحدًا، فتطابق D النقطة D*.

هذا البرهان لا يفترض أن المثلثين ABD و ADC متشابهان. في مثالنا مساحتاهما غير متساويتين، وكذلك جزآ القاعدة. تساوي الزاويتين عند A لا يجعل المثلثين متطابقين ولا يحدد وحده بقية زواياهما.

المنصف والمتوسط والارتفاع ثلاث قطع مختلفة

ضع a=BC و b=AC و c=AB. مربع طول منصف الزاوية الداخلية هو AD²=bc(1−a²/(b+c)²). [2] تنتج القيمة طولًا بعد أخذ الجذر الموجب. يلزم أن تكون الأطوال موجبة وتحقق شروط المثلث؛ خصوصًا a أصغر من b+c، فيكون العامل بين القوسين موجبًا.

نعوض a=14 و b=15 و c=13: AD²=195(1−196/784)=585/4. إذن AD=3√65/2، نحو 12.0934. يمكن فحص النتيجة من الإحداثيات مباشرة: AD²=(3/2)²+12²=9/4+144=585/4. احتفظ بالقيمة الدقيقة، واستعمل علامة التقريب للعدد العشري.

المتوسط من A يصل منتصف BC عند M=(2,0)، لأن (−5+9)/2=2. مربع طوله AM²=2²+12²=148، وطوله 2√37، نحو 12.1655. يقع M بعد D بنصف وحدة على القاعدة، لذلك لا يمثل AD المتوسط في مثالنا.

الارتفاع من A عمودي على BC الأفقي، فيصل H=(0,0). طوله AH=12، ومربعه 144. المنصف AD يميل نحو اليمين، فلا يكون عموديًا على القاعدة. اختلاف التعريفات يفسر اختلاف H و D و M، حتى لو تقاربت القطع في الرسم.

عند تساوي AB و AC، تعطي النسبة BD/DC=1، فيتطابق D مع منتصف القاعدة. حينئذ يتطابق هذا المنصف الداخلي مع المتوسط والارتفاع من الرأس المشترك للساقين. أما في مثال 13 و 15، فلا يجوز نقل هذه الخاصية من المثلث متساوي الساقين.

المنصف الخارجي قد يقطع القاعدة بعيدًا

عند A، مد أحد ضلعي الزاوية لتتشكل الزاوية الخارجية المجاورة. منصفها خط آخر غير المنصف الداخلي. إذا قطع خط BC عند X خارج الضلع، فإن BX/CX=AB/AC بالأطوال الموجبة. [3] لا تستعمل هنا مجموع BX+CX=BC؛ النقطة خارج القطعة، فتكون المسافة إلى الطرف الأبعد أكبر.

في مثالنا يقع X قبل B على خط القاعدة. ليكن BX=q؛ تصبح CX=q+14. النسبة q/(q+14)=13/15 تعطي 15q=13q+182، ثم q=91. إذن CX=105، وإحداثي X هو −5−91=−96، أي X=(−96,0).

يمر AX بالنقطتين (0,12) و (−96,0)، فمعادلته y=12+x/8. ميلا المنصفين الداخلي والخارجي −8 و 1/8، وحاصل ضربهما −1، فيتعامدان. سنثبت أيضًا اتجاهيهما بمتجهات الوحدة، حتى لا يكون وصفهما مجرد اسم ألصقناه بخطين.

يقارن الجدول التقسيم الداخلي والخارجي. النسبة الموجبة 13/15 في الحالتين، لكن الأطوال والمواقع مختلفة جدًا: داخليًا مجموع الجزأين 14؛ وخارجيًا الفرق 105−91=14. تحديد الموقع جزء ضروري من حل المسألة.

لا نعرض X البعيدة في الرسم الرئيسي، لأن ذلك يصغر تفاصيل المثلث والقطع المتقاربة. الرسم الداخلي التالي يوضح الاتجاهات بعد جعل طولي المتجهين إلى B و C يساويان 1؛ فهو رسم للاتجاهات، وليس للمثلث بأطواله الأصلية.

متجهان بطول واحد يحددان المنصفين

من A إلى B، متجه الوحدة v=(−5/13,−12/13). ومن A إلى C، متجه الوحدة w=(3/5,−4/5). كلاهما طوله 1، لأن مجموع مربعي مركبتيه 1. توحيد الطولين يمنع الضلع الأطول من دفع الاتجاه نحو نفسه لمجرد زيادة طوله.

مجموعهما v+w=(14/65,−112/65). هذا اتجاه ذو ميل −8، مثل AD. لماذا ينصف الزاوية؟ الضرب القياسي (v+w)·v=1+v·w يساوي (v+w)·w. ومع تساوي طولَي v و w، يعني ذلك تساوي جيبي تمام الزاويتين مع اتجاه المجموع. المجموع يقع داخل الزاوية، فتتساوى الزاويتان.

للاتجاه الخارجي، نجمع v مع عكس w، أي نستعمل v−w=(−64/65,−8/65). ميله 1/8، مثل AX. إنه ينصف الزاوية بين الاتجاه إلى B وامتداد الاتجاه إلى C في الجهة المعاكسة، وفق الحجة نفسها بمتجهين طول كل منهما 1.

يتعامد الاتجاهان لأن (v+w)·(v−w)=|v|²−|w|²=0. لا تعتمد هذه المساواة على اختيار مثلثنا؛ إنها صحيحة لأي متجهين بطول واحد. يستبعد المثلث غير المنعدم أن يكون مجموعهما أو فرقهما متجهًا صفريًا.

في الرسم، تتطابق نهايتا متجهي الوحدة مع الأرقام السابقة، ويظهر مجموعهما وفرقُهما بلونين. لا تمثل هذه النهايات B و C الأصليتين؛ إنها نقاط في رسم اتجاهات حول أصل جديد. نحافظ على مقياس واحد للمحورين، فلا يبدو التعامد نتيجة تمديد أحد المحورين وحده.

الساقان المتساويتان والتكبير والحالات المستبعدة

غيّر المثال إلى A=(0,12)، B=(−5,0)، C=(5,0). صار AB=AC=13، والمنصف الداخلي رأسيًا x=0؛ يلتقي منتصف BC عند (0,0). متجها الوحدة لهما المركبة الرأسية نفسها، فيكون فرقهما أفقيًا. لذلك المنصف الخارجي هو y=12، موازيًا لخط BC ذي المعادلة y=0.

في هذه الحالة لا يوجد تقاطع محدود للمنصف الخارجي مع القاعدة. لا تعالج ذلك بفرض نقطة X تحقق النسبة 1؛ المسافتان المتساويتان إلى B و C على خطهما تحددان المنتصف، وهو داخلي. القسمة الخارجية تصبح غير ممكنة، ويظهر التوازي بدل نقطة تقاطع.

في المثال الأصلي، اضرب الإحداثيات في 2. تصبح A=(0,24)، B=(−10,0)، C=(18,0)، D=(3,0)، X=(−192,0). تتضاعف الأطوال 13 و 15 و 14 إلى 26 و 30 و 28. النسبة 13/15 تظل نفسها، و BD=13 و DC=15 في المثلث المكبر.

مربع طول المنصف يصبح 585 بدل 585/4؛ عامل الطول 2 يعطي عامل المربع 4. المساحة تصبح 28×24/2=336 بدل 84. اتجاهات متجهي الوحدة لا تتغير، لأنها تقسم كل متجه ضلع على طوله، فيلغى عامل التكبير.

تحتاج المسألة مثلثًا غير منعدم وأطوالًا في الوحدة نفسها. إذا ساوى ضلع مجموع الضلعين الآخرين، فقدت الزاوية الداخلية والمثلث ذي المساحة الموجبة؛ وإذا تجاوز مجموعهما فلا يتشكل مثلث. ميّز القطعة الداخلية من الخط الخارجي، وسجل مجموع الجزأين أو الفرق بينهما بحسب موضع نقطة التقسيم.