أقراص جيرشغورين: حصر القيم الذاتية للمصفوفة

من الصف إلى القرص المغلق

القيمة الذاتيةλ تحققAv=λv لمتجهv≠0. قد تكونλ عقدية حتى لو كانت عناصرA حقيقية. [1]

نستعملDᵢ بنصف قطرRᵢ≥0، مع استثناء عنصر القطر من المجموع. الرمز≤ يشمل داخل القرص وحدوده، وليس محيطه فقط. [1]

في المستوى العقدي z=u+iv، يمثلu الإحداثي الأفقي وv الرأسي. هنا نرسم بمقياس واحد للمحورين، كي تمثل الدائرة المسافة المذكورة في المتباينة.

اخترناA=[[5,−1,2],[1,8,−1],[0,0,−4]]؛ كل مجموعة بين قوسين داخليين صف من اليسار إلى اليمين. المراكز5 و8 و−4، أماR₁=|−1|+|2|=3 وR₂=|1|+|−1|=2 وR₃=0.

إذن الأقراص|z−5|≤3 و|z−8|≤2، والنقطةz=−4. لا نضيف5 إلى نصف القطر الأول، ولا نجمع−1+2 دون قيم مطلقة.

الأول يمتد على المحور الحقيقي من2 إلى8، والثاني من6 إلى10. يتداخلان، لكن الرسمة تمثل قرصين في المستوى، وليست حكمًا بأن كل القيم الذاتية حقيقية.

لماذا يكفي صف واحد لإثبات الاحتواء؟

خذ متجهًا ذاتيًاv≠0، واخترk بحيث|vₖ| أكبر مقدار بين مركباته؛ إذن|vₖ|>0 و|vⱼ|≤|vₖ|. [2]

من الصفk فيAv=λv نحصل على(λ−aₖₖ)vₖ=Σⱼ≠ₖaₖⱼvⱼ. بأخذ المقادير ومتباينة المثلث: |λ−aₖₖ||vₖ|≤Σⱼ≠ₖ|aₖⱼ||vⱼ|≤Rₖ|vₖ|. [2]

نقسم على|vₖ| غير الصفري، فينتج|λ−aₖₖ|≤Rₖ. هذا يثبتλ∈Dₖ، ومن ثم انتماءها إلى الاتحاد. ولا يثبت انتماءها إلى كل قرص. [2]

في مثالA نتحقق جبريًا أيضًا: det(λI−A)=(λ+4)((λ−5)(λ−8)+1)=(λ+4)(λ²−13λ+41). العامل الأخير جذراه(13±√5)/2؛ ومعهما−4.

القيمتان الحقيقيتان تقريبيًا5.382 و7.618 داخل القرص الأول لأن بُعديهما عن5 يقاربان0.382 و2.618، وكلاهما أقل من3. والقيمة−4 تقع في القرص الصفري، أي النقطة نفسها.

استعملنا الحل الدقيق لفحص المثال، لكن بناء الأقراص سبق هذا الحل. البرهان العام لم يحتج قيم العناصر المختارة ولا حساب جذور كثير الحدود.

قد يخلو أحد الأقراص من القيم الذاتية

خذB=[[1,10],[−1,1]]. القرصان لهما المركز1، ونصفا قطريهما10 و1. الاتحاد هو القرص الكبير وحده، لأن الصغير داخل الكبير.

نحسبdet(λI−B)=(λ−1)²+10؛ لذلكλ=1+i√10 أو1−i√10. بُعد كل واحدة عن المركز1 هو√10، أكبر من1 وأصغر من10.

إذن القرص الصغير لا يحتوي أي قيمة ذاتية، مع أن جميع القيم الذاتية للمصفوفة داخل الاتحاد. لا يصح توزيع قيمة على كل قرص لمجرد وجود قرصين وقيمتين.

المصفوفة حقيقية، والقيمتان عقديتان؛ الاقتصار على الجزء الحقيقي1 كان سيضعهما خطأ في مركز القرص. الرسم الداخلي يبين النقطتين فوق المحور وتحته.

كذلك العدد1 نفسه داخل القرصين، لكنه ليس قيمة ذاتية: det(I−B)=10≠0. الاحتواء يعطي مكانًا ممكنًا، ولا يحول كل نقطة في المنطقة إلى قيمة ذاتية.

استبعاد الصفر وما الذي يظل غير محسوم؟

إذا لم يحتو الاتحاد العدد0، فلن يكون0 قيمة ذاتية، وتكونA غير مفردة. أما دخول0 في المنطقة فلا يثبت أنه قيمة ذاتية. [1]

أقراصA الثلاثة تستبعد0: المسافة إلى5 هي5>3، وإلى8 هي8>2، وإلى−4 هي4>0. إذنA غير مفردة. ويؤكد الحسابdet(A)=−4(5×8−(−1)×1)=−164.

فيB يدخل0 في القرص الكبير لأن|0−1|=1≤10. مع ذلكdet(B)=1×1−10×(−1)=11≠0، فالمصفوفة غير مفردة؛ اختبار المنطقة وحده هنا غير حاسم.

راجع الأبعاد المربعة أولًا، ثم المركز ومقادير عناصر الصف خارج القطر. ارسم الأقراص المغلقة، وخذ اتحادها، ثم قارن النتيجة بالسؤال المطلوب: موضع القيم أم استبعاد الصفر؟

الحصر قد يكون واسعًا كما فيB. لا تستنتج من اتساعه عدد القيم في كل قرص، ولا تخلط الحصر بحل المعادلة المميزة.