دائرة أبولونيوس: أين تثبت نسبة المسافتين؟

الخلاصة السريعة

دائرة أبولونيوس هي موضع النقاط التي تثبت فيها نسبة المسافتين إلى نقطتين مختلفتين، عندما تكون النسبة موجبة وغير مساوية للواحد. [1] في مثال PA/PB=1/2، المعادلة (x+4)²+y²=64. وعند PA/PB=1 يصبح الموضع المنصف العمودي للقطعة AB. [2]

• شرط المثال هو PA/PB=1/2 مع P≠B. تربيع المسافتين يعطي PA²/PB²=1/4، وليس 1/2. النقطتان الثابتتان A=(0,0) و B=(12,0) مختلفتان؛ النسبة لا تُعرَّف عند B.
• من x²+y²=((x−12)²+y²)/4 نحصل على (x+4)²+y²=64؛ المركز C=(−4,0) ونصف القطر 8. النقطة P=(−4,8) تحقق PA²=80 و PB²=320، ومن ثم PA/PB=1/2.
• يقطع الحد محور السينات عند R=(−12,0) و Q=(4,0). كلتاهما تحقق الشرط، أما T=(−4,4) فداخل الدائرة ولكن PA²/PB²=2/17؛ لذلك لا تنتمي إلى موضع المساواة.
• عندالنسبة 1 يكون الموضع x=6، وعندالنسبة 2 تصبح الدائرة (x−16)²+y²=64. قلب النسبة مع إبقاء ترتيب النقطتين يغير الدائرة؛ تبديل A و B مع قلب النسبة يحافظ على الموضع نفسه.
• للنسبة الموجبة k≠1، المركز C=(A−k²B)/(1−k²)، ونصف القطر r=k|AB|/|1−k²|. صيغة المركز تستعمل متجهي الموضع A و B، بينما|AB| طول القطعة؛ نصف القطر موجب.
• إذا كبرنا جميع الإحداثيات بعامل 2 بقيت النسبة 1/2، وصار المركز (−8,0) ونصف القطر 16. النسبة 0 تعطي النقطة A وحدها، والنسبة السالبة لا تعطي نقاطًا؛ فرض اختلاف A و B ضروري.

ما الذي يحدد الموضع؟

نثبت نقطتين مختلفتين A و B في المستوى، ونبحث عن جميع P التي تحقق PA/PB=k. المسافات هنا أطوال غير سالبة، ويجب أن تكون PB موجبة حتى توجد النسبة. لهذا نستبعد B من البداية.

يسمى موضع النسبة الثابتة دائرة أبولونيوس حين k موجبة ومختلفة عن 1. [1] المقصود هنا هذا التعريف تحديدًا؛ ليس كل استعمال للاسم في الهندسة يشير إلى المسألة نفسها.

في المثال نأخذ A=(0,0) و B=(12,0) و k=1/2. الشرط PA=PB/2 يتعلق بمسافتين إلى نقطتين ثابتتين، ولا يطلب تساوي المسافة إلى مركز دائرة معلوم. المركز سيظهر من الحساب.

استخراج المعادلة واختبار النقاط

لنكتب P=(x,y). بفيثاغورس PA²=x²+y² و PB²=(x−12)²+y². لأن الطرفين في PA=PB/2 غير سالبين، فإن التربيع يحافظ على التكافؤ: 4(x²+y²)=(x−12)²+y².

نوسع ونرتب فنحصل على 3x²+3y²+24x−144=0. القسمة على 3 تعطي x²+y²+8x−48=0، وإكمال المربع يعطي (x+4)²+y²=64. إذن C=(−4,0) و r=8. للمراجعة العامة للصورة القياسية راجع المقال الداخلي عن معادلة الدائرة.

عند P=(−4,8) نحصل على PA²=16+64=80 و PB²=256+64=320. الطولان PA=4√5 و PB=8√5، فتكون النسبة 1/2. الجدول يعرض نسبة المربعين؛ نعود إلى الجذر الموجب للحصول على نسبة المسافتين.

الحد الدائري لا يشمل جميع نقاط القرص

بوضع y=0 في المعادلة يصبح (x+4)²=64، ومنه x=−12 أو x=4. لذلك R=(−12,0) و Q=(4,0) هما تقاطعَا الدائرة مع محور السينات، والقطعة RQ قطر طوله 16 ومنتصفه C=(−4,0).

النقطة T=(−4,4) تبعد 4 عن C، وهي داخل القرص لأن 4 أصغر من 8. لكن PA²=32 و PB²=272، فيكون PA²/PB²=2/17، وهو أصغر من 1/4. وجودها داخل الرسم لا يحقق المساواة المطلوبة.

الدائرة هنا منحنى الحد، والقرص يجمع الحد والداخل. النقطة A أيضًا داخل القرص، لكنها تعطي نسبة 0. أما B فخارج الدائرة وممنوعة من تعريف النسبة. هذه الاختبارات تفسر ضرورة قراءة الشرط قبل اعتماد موضع نقطة في الشكل.

النسبة الواحدة والمقلوبة

إذا k=1 فإن PA²=PB² تصبح x²+y²=(x−12)²+y². بعد الاختصار 12x=72، أي x=6. هذا مستقيم عمودي على AB ويمر بمنتصفها؛ ليس دائرة ذات نصف قطر محدود. [2]

إذا بقي ترتيب A و B ثابتًا وأصبح k=2، فإن x²+y²=4((x−12)²+y²)، ومنه (x−16)²+y²=64. المركز الجديد (16,0) ونصف القطر 8. النقطة (16,8) تعطي مربعي مسافتين 320 و 80، فتكون النسبة 2.

الانعكاس حول x=6 يرسل الدائرة الأولى إلى الثانية. لكن كتابة PB/PA=2 بدل PA/PB=1/2 تصف الدائرة الأولى نفسها: لقد عكسنا ترتيب النقطتين والنسبة معًا. لا يجوز تغيير النسبة وحدها ثم توقع بقاء موضع النقاط.

صيغة المركز ونصف القطر

للنقطتين A=(0,0) و B=(d,0)، حيث d موجبة، يؤدي شرط PA²=k²PB² إلى (1−k²)(x²+y²)+2k²dx−k²d²=0. إذا k≠1 نستطيع القسمة وإكمال المربع.

ينتج مركز إحداثيه السيني −k²d/(1−k²) ونصف قطر r=kd/|1−k²|. لذلك يقع المركز خلف A عندما k أصغر من 1، وخلف B عندما k أكبر من 1. ليس المركز عمومًا منتصف القطعة AB.

في نظام إحداثيات عام نكتب C=(A−k²B)/(1−k²)، و r=k|AB|/|1−k²|. بتحريك الأصل إلى A وتدوير المحور نحو B نحصل على الحساب السابق؛ العودة إلى النظام الأول تغير موضع المركز ولا تغير طول نصف القطر.

يمكن التحقق بالتوسيع من الهوية PA²−k²PB²=(1−k²)(PC²−r²). المساواة بالصفر تكافئ PC=r. وإذا أردنا متباينة بدل المساواة، فإن إشارة 1−k² تحدد الاتجاه: الداخل يعني PA أصغر من kPB عند k أصغر من 1، ويعني PA أكبر من kPB عند k أكبر من 1.

التكبير وحدود استعمال الصيغة

نضرب الإحداثيات في 2: تصبح B=(24,0) و C=(−8,0) و P=(−8,16). نصف القطر 16، ومربعا المسافتين 320 و 1280. النسبة بين المربعين 1/4، ونسبة المسافتين 1/2؛ جميع الأطوال تضاعفت معًا.

عند k=0، ومع A≠B، يتطلب PA=0 أن تكون P=A. هذا موضع من نقطة واحدة. وعند k سالبة لا توجد حلول لأن نسبة الأطوال غير سالبة. لا تنطبق صيغة دائرة موجبة على الحالتين.

أما إذا A=B، فكل P مختلفة عنهما تعطي النسبة 1، ولا توجد نقاط للنسب الأخرى؛ والنقطة المشتركة نفسها ممنوعة لأن المقام صفر. لهذا بدأنا بفرض نقطتين مختلفتين، وفصلنا k=1 قبل القسمة على 1−k².