متباينات بونفيروني: حدود احتمال الاتحاد من بيانات ناقصة

الخلاصة السريعة

في نموذج البطاقات، التوقف بعد طرح الأزواج يعطي حدًا أدنى 7/12، وبعد إضافة الثلاثيات يعطي حدًا أعلى 1. الاحتمال الفعلي 11/12. [1] وفي نموذجين آخرين، كل التقاطعات حتى الرتبة الثالثة متطابقة، لكن احتمال الاتحاد 7/8 في أحدهما و 1 في الآخر؛ البيانات الناقصة لا تفرض جوابًا دقيقًا.

• سمّ مجموع احتمالات التقاطعات ذات الرتبة j باسم Sⱼ. متباينات بونفيروني تجعل المجموع المتناوب حتى رتبة فردية حدًا أعلى لاحتمال الاتحاد، وحتى رتبة زوجية حدًا أدنى. [1] نأخذ كل تقاطعات الرتبة المختارة، ولا نفترض استقلال الأحداث.
• في 12 بطاقة، مجاميع أعداد التقاطعات للرتب 1 و 2 و 3 و 4 هي 20 و 13 و 5 و 1. المراحل المتناوبة 20، ثم 7، ثم 12، ثم 11؛ نقسم كل مرحلة على 12 لتحويلها إلى احتمال أو حد.
• البطاقة 6 تنتمي إلى الأحداث الأربعة: مساهمتها بعد جمع الأفراد وطرح الأزواج −2، وبعد إضافة الثلاثيات 2، وبعد طرح الرباعي 1. مساهمة سالبة في مرحلة وسطى لا تعني احتمالًا سالبًا للبطاقة.
• التوقف بعد الثلاثيات لا يعطي عادة مساواة. النموذجان الزوجي والفردي لكل منهما 8 أنماط متساوية الاحتمال؛ كل حدث احتماله 1/2، وكل زوج 1/4، وكل ثلاثية 1/8، لكن الرباعي 1/8 وصفر والاتحاد 7/8 و 1.
• الحد الأول 20/12 يتجاوز 1، فنستعمل 1 بوصفه حدًا أعلى صالحًا أيضًا. لا نسمّي 20/12 احتمال الاتحاد. وبعد الأزواج والثلاثيات نحصل على المجال 7/12 إلى 1؛ طرح الرباعي المعروف يعطينا 11/12 بدقة.
• التقاطعات الثنائية تضم من يحقق الثالث والرابع أيضًا. في نموذجنا P(A∩B)=1/4، بينما حاصل ضرب احتمالي A و B يساوي 5/24؛ لا نستبدل التقاطع بالضرب. حد الاتحاد لا يعطي احتمال حدث واحد بالضبط.

أربع قوائم في تجربة معلنة

نفترض سحب بطاقة واحدة من الأرقام 1 إلى 12، لكل بطاقة احتمال 1/12. نعرّف A بالقائمة{1,2,3,4,5,6}، و B بالقائمة{4,5,6,7,8}، و C بالقائمة{6,8,9,10}، و D بالقائمة{2,5,6,10,11}. الأحداث قد تتداخل؛ العدد 6 مثلًا يحقق الأربعة.

اتحاد القوائم يضم الأرقام 1 إلى 11، ويستبعد 12 وحده. إذن P(U)=11/12، حيث U اسم الاتحاد. هذا الحساب المباشر يتيح مراجعة الحدود؛ في مسألة كبيرة قد نعرف بعض احتمالات التقاطع دون امتلاك مثل هذه القائمة الصغيرة.

أعداد الأحداث المنفردة 6 و 5 و 4 و 5، ومجموعها 20. أعداد الأزواج بالترتيب A∩B و A∩C و A∩D و B∩C و B∩D و C∩D هي 3 و 1 و 3 و 2 و 2 و 2؛ مجموعها 13. الثنائي يعني انتماءً إلى الحدثين المحددين معًا، ولا يستبعد الحدثين الآخرين.

أعداد الثلاثيات A∩B∩C و A∩B∩D و A∩C∩D و B∩C∩D هي 1 و 2 و 1 و 1؛ مجموعها 5. الرباعي هو البطاقة 6 وحدها، وعدده 1. لذلك مجاميع الاحتمالات S₁=20/12 و S₂=13/12 و S₃=5/12 و S₄=1/12. الرسم يكتب كل بطاقة مرة مع الأحداث التي تحققها.

التوقف عند رتبة كاملة يعطي حدًا

الرتبة 1 تجمع الأحداث المنفردة، والرتبة 2 تجمع جميع الأزواج، والرتبة 3 تجمع جميع الثلاثيات. نتناوب بين إضافة مجموع الرتبة وطرحه. يورد المرجع قاعدة الرتبة الفردية للحد الأعلى والزوجية للحد الأدنى. [1] هنا نكتب T₁=S₁، ثم T₂=S₁−S₂، ثم T₃=S₁−S₂+S₃.

في الحساب، T₁=20/12، و T₂=7/12، و T₃=12/12=1. وبإكمال التقاطع الرباعي، T₄=11/12، وهو الاحتمال المباشر نفسه. عبارة «بعد ثلاثة حدود» هنا تعني ثلاث رتب كاملة، وليست اختيار ثلاثة تقاطعات فقط من قائمة الأزواج.

لا نحول الحد الأول 20/12 إلى احتمال أكبر من 1. إنه حد أعلى صحيح لكنه ضعيف، لأن الاحتمال نفسه لا يتجاوز 1. لذلك يمكن الاكتفاء بحد 1. وإذا عرفنا الرتب الثلاث الأولى فقط، تجمع النتيجة حدًا أدنى 7/12 وحدًا أعلى 1.

طرح الرباعي المعلوم يخفض T₃ من 1 إلى 11/12. أما قبل معرفته، فنستطيع قول إن الاحتمال لا يتجاوز 1، لكن لا نستطيع تسميته 1 لمجرد توقفنا عند مجموع ينتهي بإشارة موجبة. الجدول يفرق بين قيمة المرحلة واتجاه استخدامها.

لماذا قد تظهر مساهمة سالبة داخل الحد الأدنى؟

ليكن r عدد الأحداث التي تحققها بطاقة. البطاقة خارج الاتحاد لها r=0 ولا مساهمة. داخله، تجمع r مرة في الرتبة الأولى. وتظهر في عدد من الأزواج يساوي عدد طرق اختيار حدثين من أحداثها، ثم في عدد مماثل من الثلاثيات.

للبطاقة 6، r=4. لها 6 أزواج و 4 ثلاثيات ورباعي واحد. مساهماتها المتتابعة 4، ثم 4−6=−2، ثم 4−6+4=2، ثم 4−6+4−1=1. في الاتحاد نحتاج عدها مرة، فتكون −2 أقل من 1، و 2 أكبر من 1، والمرحلة الأخيرة تساويه.

البطاقة 5 تحقق A و B و D، فمراحلها 3، ثم 0، ثم 1. والبطاقة 2 تحقق A و D، فمراحلها 2، ثم 1، ثم 1. الجدول يجمع البطاقات بحسب r؛ عمود الاتحاد يسجل قبولها صفرًا أو واحدًا، لا عدد مرات تكررها.

نضرب مساهمة كل فئة في عدد بطاقاتها. في المرحلة الثانية، الناتج 5×1+4×1+1×0+1×(−2)=7. وفي الثالثة 5×1+4×1+1×1+1×2=12. العدد السالب في فئة واحدة جزء من حساب حد، وليس احتمالًا نعطيه لنتيجة من نتائج السحب.

يمكن التحقق من الاتجاه لكل عدد أحداث بالهوية التالية. عرّف b(r,j) عدد طرق اختيار j من r، وصفرًا إذا j أكبر من r. للمجموع المتناوب Hₖ حتى k، وعندما r ≥ 1، نجد Hₖ=1−(−1)ᵏb(r−1,k). تنتج الهوية من b(r,j)=b(r−1,j)+b(r−1,j−1): عند الجمع المتناوب تلغى الحدود الداخلية ويبقى الطرفان.

إذا k فردي، تكون Hₖ مساوية 1 زائد مقدار غير سالب؛ وإذا k زوجي، تكون 1 ناقص مقدار غير سالب. نزن كل نتيجة باحتمالها ونجمع، فنحفظ اتجاه المقارنة مع مؤشر الاتحاد. عند r=0 تكون كل المساهمات صفرًا، ونفحصها منفصلة بدل استعمال b عند عدد سالب.

نموذجان لهما التقاطعات الأولى نفسها واتحاد مختلف

أنشئ نمطًا من أربع خانات بالترتيب A و B و C و D. الخانة 1 تعني تحقق حدثها، و 0 عدم تحققه. في النموذج الزوجي نختار بالتساوي واحدًا من الأنماط ذات عدد الآحاد الزوجي: 0000، 0011، 0101، 0110، 1001، 1010، 1100، 1111. لكل نمط احتمال 1/8.

في النموذج الفردي نختار بالتساوي من 0001، 0010، 0100، 0111، 1000، 1011، 1101، 1110. لكل نمط احتمال 1/8 أيضًا. لا نخلط النموذجين في تجربة واحدة؛ لكل منهما فضاؤه وقاعدة الاختيار المعلنة.

في كل نموذج، أي خانة محددة 1 في أربعة أنماط، وأي زوج محدد من الخانات 1 معًا في نمطين، وأي ثلاثية محددة 1 معًا في نمط واحد. إذن احتمالات الأحداث 1/2، والأزواج 1/4، والثلاثيات 1/8، متطابقة تقاطعًا تقاطعًا، لا في مجموعها فقط.

الاتحاد يستبعد 0000 إذا كان متاحًا. في النموذج الزوجي هو نمط واحد من 8، فيكون احتمال الاتحاد 7/8. في النموذج الفردي لا يوجد 0000، فالاحتمال 1. وكذلك الرباعي يتحقق في 1111: احتماله 1/8 في الزوجي وصفر في الفردي.

مجاميع الرتب المشتركة S₁=2 و S₂=3/2 و S₃=1/2، فتعطي T₂=1/2 و T₃=1. الاحتمالان 7/8 و 1 داخل المجال نفسه. البيانات حتى الثلاثيات لا تحسم أيهما، لكن إضافة الرباعي تفرق بينهما. هذا مثال مستقل يبين حد ما نستنتجه من التوقف المبكر.

فحص التداخل والرتب والسؤال قبل استعمال الحد

في تجربة البطاقات، P(A)=1/2 و P(B)=5/12. حاصل ضربهما 5/24، بينما P(A∩B)=3/12=1/4. إذن لا ندخل حاصل الضرب بدل التقاطع الفعلي. المتباينات لا تطلب افتراض الاستقلال كي نقارن مجاميع التقاطعات المعروفة.

التقاطع A∩B يضم 4 و 5 و 6، رغم أن 5 يحقق D أيضًا، و 6 يحقق C و D. إذا أردت «A و B دون غيرهما»، فالمطلوب مختلف، وفي هذا المثال تبقى 4 وحدها. طرح الفئات الحصرية بدل التقاطعات الشاملة يغير الحساب.

في الاتحاد نقبل أي بطاقة تحقق حدثًا واحدًا على الأقل. من يحقق حدثًا واحدًا بالضبط هم 1 و 3 و 7 و 9 و 11؛ احتمالهم 5/12. لا نقرأ 11/12 أو مجال 7/12 إلى 1 بوصفه جوابًا لهذا السؤال الآخر.

حدد تجربة السحب ووزن كل نتيجة، ثم سجل تقاطعات كل رتبة كاملة. حدّد بعد ذلك هل تحتاج حدًا أم احتمالًا دقيقًا. لا تتعامل مع رتبة لم تحسبها كأنها صفر، ولا تصف الطرف العددي بأنه الاحتمال نفسه دون دليل مساواة.