نظرية سيفا: متى تلتقي ثلاث قطع في نقطة واحدة؟

الخلاصة السريعة

في الصيغة الداخلية لنظرية سيفا، تتلاقى AD و BE و CF إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب BD/DC و CE/EA و AF/FB يساوي 1. في مثالنا 2×3×(1/6)=1، ونقطة التلاقي P=(8/3,8/3).

• اختر D داخل BC، و E داخل CA، و F داخل AB في مثلث غير منعدم المساحة. شرط التلاقي هو (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1. [1] اكتب النسب في دورة واحدة حول المثلث، مع الأطوال الموجبة في هذه الصيغة.
• مثالنا A=(0,0)، B=(18,0)، C=(3,12). اختر BD/DC=2 و CE/EA=3. يلزم AF/FB=1/6، فمع AB=18 تكون AF=18/7 و FB=108/7. النقاط D=(8,8)، E=(3/4,3)، F=(18/7,0).
• معادلتا AD و BE هما y=x و y=(72−4x)/23. تقاطعهما P=(8/3,8/3)، ويقع على CF ذي المعادلة y=28x−72. مساحات PAB و PCA و PBC تساوي 24 و 12 و 72؛ نسبها 24/12 و 72/24 و 12/72 تعطي الحاصل 1.
• إذا نقلنا F إلى F′=(3,0)، تصبح AF′/F′B=1/5، والحاصل 6/5 لا 1. تقاطع AD مع BE يبقى P؛ والتقاطعان الآخران (3,3) و (3,60/23). كل زوج يتقاطع، لكن الثلاثة لا تتلاقى.
• إذا كانت النقاط الثلاث منتصفات، كانت النسب 1 و 1 و 1. في مثلثنا تلتقي المتوسطات عند G=(7,4)، وهي تختلف عن P. قلب النسب كلها يحافظ على شرط الحاصل 1، أما قلب 1/6 وحدها في المثال فيعطي 36، فيفسد المطابقة.
• تكبير الأطوال بعامل 2 يجعل P=(16/3,16/3) ومساحة المثلث 432 بدل 108، لكن نسب التقسيم لا تتغير. الصيغة هنا لا تشمل النقاط على امتدادات الأضلاع أو الرؤوس، ولا المثلث المنعدم؛ فهذه الحالات تحتاج شروطًا أخرى.

ثبت النقاط ورتب نسب التقسيم

نبدأ بالمثلث A=(0,0)، B=(18,0)، C=(3,12). قاعدته AB طولها 18 وارتفاع C عن خطها 12، فمساحته 18×12/2=108. نختار D على BC، و E على CA، و F على AB؛ كل نقطة داخل ضلعها بعيدًا عن الطرفين.

وصل كل رأس بالنقطة المقابلة له: AD و BE و CF. تقول نظرية سيفا إن التلاقي في نقطة واحدة يكافئ BD·CE·AF=DC·EA·FB. [1] وبقسمة الطرفين على حاصل الأطوال الموجبة في الطرف الأيمن، نحصل على صيغة حاصل النسب التي نستعملها.

نكتب BD/DC ثم CE/EA ثم AF/FB. هذه دورة تبدأ من B إلى C، ثم C إلى A، ثم A إلى B، وكل ضلع مقسوم عند نقطته المختارة. لا تخلط ترتيبًا من هذه الدورة مع ترتيب معكوس في كسر واحد.

اختر BD/DC=2 و CE/EA=3. حاصل النسبتين 6، لذلك يلزم AF/FB=1/6. وبما أن AB=18، نقسمها إلى سبعة أجزاء متساوية؛ AF جزء واحد، و FB ستة أجزاء. إذن AF=18/7 و FB=108/7، ومجموعهما 18.

لا تجعل AF=3 لمجرد أن 18/6=3؛ العدد 6 في النسبة يخص FB، وليس طول AB كله. التقسيم 1:6 يحتاج مجموع أجزاء 7. هذه الخطوة تعطي F=(18/7,0) وتحدد موضعها قبل أن نحسب نقطة التلاقي.

تحقق من التلاقي بالمعادلات

النقطة D=(8,8) تحقق التقسيم المطلوب: المتجه من B إلى C هو (−15,12)، ومن B إلى D هو (−10,8)، أي ثلثاه. بقي من D إلى C الثلث، فتكون BD/DC=2. ليست D منتصف الضلع.

من C=(3,12) إلى A=(0,0)، تقع E=(3/4,3) بعد ثلاثة أرباع المسافة. بقي الربع إلى A، فتكون CE/EA=3. هذه النسبة طول على طول في الخط نفسه؛ لا نقارن إحداثيي x و y منفصلين كأنهما ضلعان.

يمر AD بالنقطتين (0,0) و (8,8)، فمعادلته y=x. ويمر BE بالنقطتين (18,0) و (3/4,3)، فمعادلته y=(72−4x)/23. بمساواة y نجد 23x=72−4x، ثم 27x=72؛ إذن x=8/3 و y=8/3.

الخط CF يصل C=(3,12) بـ F=(18/7,0)، ومعادلته y=28x−72. عند P=(8/3,8/3)، يعطي الطرف الأيمن 224/3−72=8/3، فيمر الخط بالنقطة نفسها. تحققنا من المعادلات الثلاث، لا من قرب خطوط الصورة.

في الرسم الرئيسي، الألوان الثلاثة تخص AD و BE و CF، وتظهر P عند تقاطعها. المقياس واحد للمحورين، لكن تلاقي القطع نتيجة الحسابات، وليس قياسًا ندعي استخراجه من سماكة الخطوط أو من الشاشة.

لماذا تلغى النسب عند التلاقي؟

نكتب[PAB] للدلالة على مساحة المثلث PAB، وبالمثل للمثلثات الأخرى. في المثال، قاعدة AB طولها 18 وارتفاع P عنها 8/3، فتكون[PAB]=18×(8/3)/2=24. حساب مساحة PCA يعطي 12، ومساحة PBC يعطي 72؛ ومجموعها 108، مساحة ABC.

افترض أن القطع تتلاقى عند P داخل المثلث. المثلثان PAB و PCA لهما القاعدة نفسها AP على خط AD. ارتفاعاهما من B و C إلى ذلك الخط يتناسبان مع BD و DC: كل ارتفاع هو المسافة إلى D مضروبة في جيب الزاوية بين الخطين BC و AD نفسه. لذلك BD/DC=[PAB]/[PCA].

بتطبيق الفكرة نفسها على BE نحصل على CE/EA=[PBC]/[PAB]، وعلى CF نحصل على AF/FB=[PCA]/[PBC]. عند ضرب النسب، تظهر كل مساحة مرة في بسط ومرة في مقام، فتُلغى ويبقى 1. المساحات موجبة لأن P داخل مثلث غير منعدم.

في أرقامنا، النسب هي 24/12=2، و 72/24=3، و 12/72=1/6. يوضح الجدول لماذا الترتيب مهم: إذا قلبنا نسبة واحدة فقط، لا تعود المساحات المتناظرة إلى مواقع الإلغاء نفسها.

والعكس صحيح أيضًا: حصولنا على الحاصل 1 يثبت التلاقي، لا مجرد شرط لازم له. [1] لتفسيره، ابدأ بتقاطع AD و BE، ثم مد القطعة من C خلال هذا التقاطع إلى AB عند F*. البرهان السابق يحدد نسبة AF*/F*B؛ والنسبة الموجبة تحدد نقطة واحدة داخل AB، فتطابق F إذا استوفت الحاصل المطلوب.

ثلاثة تقاطعات لا تعني نقطة مشتركة

أبق D و E كما هما، ثم انقل F إلى F′=(3,0). الآن AF′=3 و F′B=15، فتكون النسبة 1/5. حاصل النسب 2×3×(1/5)=6/5، فلا يتحقق شرط التلاقي عند نقطة واحدة.

يبقى تقاطع AD مع BE عند P=(8/3,8/3). لكن CF′ خط رأسي x=3، بينما إحداثي P الأفقي 8/3. لذلك لا يمر هذا الخط بـ P، مهما بدت الخطوط قريبة في رسم مصغر.

يتقاطع x=3 مع AD ذي المعادلة y=x عند (3,3). ويتقاطع مع BE عند y=(72−12)/23=60/23، فتكون النقطة (3,60/23). هذه نقطتان مختلفتان، وكلتاهما تختلف عن P.

يعرض الجدول تقاطع كل زوج بعد نقل F. ويكبر الرسم الداخلي المنطقة حول التقاطعات بمقياس موحد، حتى نميزها دون تحريك نقطة لتناسب المظهر. ظهور ثلاث نقاط مختلفة يجيب عن سؤال التلاقي، مع بقاء تقاطع كل زوج صحيحًا.

المنتصفات حالة خاصة واتجاه الكسور مهم

المتوسط يصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل، والمتوسطات الثلاثة تتلاقى. [2] في اختبار سيفا، كل نسبة تقسيم تساوي 1، فالحاصل 1. لا تشترط النظرية أن تكون النقاط منتصفات؛ مثال 2 و 3 و 1/6 أعطى تلاقيًا آخر.

في مثلثنا، المنتصفات هي (21/2,6) على BC، و (3/2,6) على CA، و (9,0) على AB. المتوسطات تمر بـ G=(7,4). المتوسط من A يقع على y=(4/7)x، والمتوسط من C يقع على y=18−2x؛ عند x=7 يعطي كلاهما 4.

المتوسط من B إلى (3/2,6) معادلته y=4(18−x)/11. عند G يعطي 4(18−7)/11=4، فيمر بها أيضًا. النقطة G تختلف عن P=(8/3,8/3)، لأن مجموعات القطع مختلفة؛ لا يوجد مركز واحد لكل اختيار ممكن من نقاط الأضلاع.

يجوز قلب النسب الثلاث كلها: DC/BD و EA/CE و FB/AF. يصبح الحاصل مقلوب الحاصل الأصلي؛ فإذا كان 1 بقي 1. في مثالنا (1/2)(1/3)×6=1. المطلوب ثبات اتجاه الدورة عبر الكسور كلها.

أما قلب AF/FB وحدها إلى FB/AF مع إبقاء 2 و 3، فيعطي 2×3×6=36. لا يدل ذلك على فشل التلاقي الذي أثبتناه؛ إنه حساب لشرط بترتيب غير متسق. راجع أسماء طرفي كل ضلع قبل استنتاج النتيجة.

التكبير والشروط التي تبقي الاختبار صالحًا

اضرب كل الإحداثيات في 2. تصبح القاعدة 36 والارتفاع 24، والمساحة 36×24/2=432. تصبح D=(16,16)، E=(3/2,6)، F=(36/7,0)، ونقطة التلاقي P=(16/3,16/3). كل طول تضاعف، فتظل نسبة طولين على الضلع نفسه ثابتة.

المساحات الصغيرة تصبح 96 و 48 و 288، وهي أربعة أمثال 24 و 12 و 72. نسب المساحات لا تتغير، لأن عامل 4 يلغى في كل كسر. لذلك لا يحدد الحاصل 1 حجم المثلث أو وحدة الطول، بل يختبر علاقة نقاط التقسيم بالتلاقي.

استعملنا D و E و F داخل الأضلاع، وأطوالًا موجبة في المقامات. وضع نقطة عند رأس يجعل بعض القطع صفرًا ويفسد قسمة النسب المستخدمة. والنقاط على امتدادات الأضلاع تحتاج اتفاقًا للإشارات أو صيغة أخرى؛ لا تنقل إليها شرط الأطوال الموجبة دون تعديل.

إذا كانت A و B و C على خط واحد، لا يوجد مثلث ذو مساحة موجبة كالذي أثبتنا فيه إلغاء المساحات. ولا تستعمل سيفا للتأكد من أن D و E و F تقع على خط واحد؛ سؤالنا عن القطع الواصلة من الرؤوس، AD و BE و CF.

للمراجعة، حدد الضلع الذي تنتمي إليه كل نقطة، ثم اكتب الدورة BD/DC و CE/EA و AF/FB. احسب بدقة قبل التقريب، وميز تقاطع زوج واحد من التلاقي الثلاثي. إذا توفر وصف بالإحداثيات، فاختبر مرور الخط الثالث بنقطة تقاطع الأولين كما فعلنا.