نظرية فاريغنون: منتصفات الرباعي تصنع متوازي أضلاع

الخلاصة السريعة

في الرباعي المحدب، تصل نظرية فاريغنون منتصفات الأضلاع المتتالية لتنتج متوازي أضلاع، مساحته نصف مساحة الأصل، ومحيطه مجموع طولَي قطري الأصل. [1] في مثالنا المساحتان 64 و 32، والمحيط 8√2+4√10.

• خذ E و F و G و H منتصفات AB و BC و CD و DA، ثم صلها بهذا الترتيب. ينتج متوازي أضلاع في الرباعي المحدب. [1] متجه EF=(C−A)/2 ومتجه FG=(D−B)/2؛ الضلعان الجديدان موازيان لقطري الأصل، وطول كل منهما نصف قطره.
• مثالنا A=(0,0)، B=(10,0)، C=(8,8)، D=(−2,4). المنتصفات E=(5,0)، F=(9,4)، G=(3,6)، H=(−1,2). المتجهان EF=(4,4) و FG=(−6,2)، ومحددُهما 32، وهو مساحة متوازي الأضلاع الجديد.
• مساحة ABC تساوي 40، ومساحة ACD تساوي 24، فمساحة ABCD تساوي 64؛ نصفها 32. القطران AC=8√2 و BD=4√10، فيكون محيط EFGH مساويًا 8√2+4√10. مركزه O=(4,3)، ويختلف عن تقاطع قطري الأصل (5/2,5/2).
• الضلعان الجديدان متعامدان إذا وفقط إذا تعامد قطرا الأصل، ومتساويان إذا وفقط إذا تساوى طولاهما. لذلك منتصفات مستطيل 10×6 تصنع معينًا غير مربع، ومنتصفات معين قطرُاه 10 و 6 تصنع مستطيلًا غير مربع. منتصفات مربع ضلعه 6 تصنع مربعًا.
• الترتيب والمنتصفات شرطان للحساب. في الرباعي المتقاطع A=(0,0)، B=(6,4)، C=(0,4)، D=(6,0)، تصبح E=G=(3,2)، و F=(3,4)، و H=(3,0)؛ الشكل الجديد منعدم المساحة. فصا الأصل مساحتهما 6 و 6، لكن مساحته الموجهة 0؛ لا تأخذ نصف المساحة المملوءة 12.
• التكبير بعامل 2 يجعل مساحتي المثال 256 و 128، ومحيط الشكل الجديد 16√2+8√10. يبقى مركزه منتصف E و G ومنتصف F و H معًا، ويتحول إلى (8,6). راجع أن الرؤوس متتالية، والنقاط منتصفات فعلًا، وأن المساحة التي تستعملها مناسبة لنوع الرباعي.

ابدأ بمنتصفات الأضلاع المتتالية

تنص نظرية فاريغنون في الرباعي المحدب على أن وصل منتصفات الأضلاع بالترتيب ينتج متوازي أضلاع. [1] اكتب الرؤوس A و B و C و D حول حد الشكل، ثم عين E على AB، و F على BC، و G على CD، و H على DA. لا تبدأ بوصل منتصفات القطرين بدل منتصفات الأضلاع.

اختر A=(0,0)، B=(10,0)، C=(8,8)، D=(−2,4). هذا رباعي محدب، لكنه ليس متوازي أضلاع: AB أفقي، و CD ليس أفقيًا. كذلك BC و DA ليسا متوازيين. اختيارنا لا يفترض الخاصية التي نريد استخراجها من المنتصفات.

منتصف نقطتين هو متوسط إحداثيي كل منهما. لذلك E=(5,0)، و F=(9,4)، و G=(3,6)، و H=(−1,2). مثلًا G=((8−2)/2,(8+4)/2)=(3,6). الحساب يضمن أن G منتصف CD، لا نقطة تبدو في وسطه على الشاشة.

صل E إلى F، ثم F إلى G، ثم G إلى H، ثم H إلى E. في الرسم، الحد الخارجي رمادي والشكل الجديد ملون. القطران الأصليان يوضحان اتجاهي ضلعَي متوازي الأضلاع، ولا نستخدمهما حدودًا للشكل الجديد.

يحفظ الجدول أسماء المنتصفات وإحداثياتها. يهم ترتيبها: توصيل نقاط صحيحة بترتيب آخر قد يجعل حدًا متقاطعًا أو يرسم قطري الشكل الجديد ضمن مساره، فلا يكون المضلع نفسه الذي تصفه النظرية.

أنصاف القطرين تثبت التوازي

في هذا القسم، تشير الرموز EF و FG داخل معادلات المتجهات إلى الاتجاه من الحرف الأول إلى الثاني. اكتب E=(A+B)/2 و F=(B+C)/2 باعتبار الحروف متجهات موضع. بطرح E من F نحصل على EF=(C−A)/2، أي نصف المتجه AC.

وبالطريقة نفسها HG=(C−A)/2. إذن EF=HG كمتجهين لهما الطول والاتجاه نفسيهما. لاحظ أننا كتبنا HG، وليس GH؛ اتجاه الضلعين المتقابلين حول الحد متعاكس، فنقلب أحدهما عند المقارنة.

كذلك FG=(D−B)/2 و EH=(D−B)/2، فهما متساويان كمتجهين. هاتان المساواتان تثبتان توازي كل زوج من الأضلاع المتقابلة وتساوي طولهما. لا نحتاج إلى مقارنة ميول قد يصبح مقامها صفرًا عندما يكون ضلع رأسيًا.

في المثال، AC=(8,8) و BD=(−12,4)، لذلك EF=HG=(4,4)، و FG=EH=(−6,2). طول EF يساوي√(4²+4²)=4√2، وطول FG يساوي√(6²+2²)=2√10. يعرض الجدول الاتجاه والطول معًا، ولا يخلط بين المتجه وطوله.

هذه المساواة الجبرية ناتجة عن المتوسطات فقط، وتبقى صحيحة لأربعة مواضع في المستوى حتى خارج الحالة المحدبة. لكن إذا كان المتجهان الجديدان متوازيين، انعدم الشكل الجديد إلى نقاط على خط؛ حينئذ لا يوجد متوازي أضلاع ذو مساحة موجبة.

المساحة نصف الأصل والمحيط مجموع القطرين

تقرر النظرية أن مساحة متوازي أضلاع المنتصفات نصف مساحة الرباعي المحدب، وأن محيطه يساوي مجموع طولَي قطري الأصل. [1] لنفحص النتيجتين في أرقامنا، ثم نكتب حسابًا عامًا يفسر المساحة.

قاعدة المثلث ABC هي AB بطول 10 وارتفاع C عنها 8، فتكون مساحته 10×8/2=40. مساحة ACD من الإحداثيات هي|(8×4−8×(−2))|/2=24. القطر AC يقسم رباعينا المحدب إلى المثلثين دون تداخل؛ إذن المساحة 40+24=64.

مساحة متوازي الأضلاع ذي المتجهين (4,4) و (−6,2) هي القيمة المطلقة لمحددهما:|4×2−4×(−6)|=32. المحدد يعطي حاصل القاعدة في ارتفاعها العمودي؛ لا نضرب طولَي ضلعين مائلين كأنهما متعامدان.

للتفسير العام، ضع u=C−A و v=D−B، واكتب det(u,v)=uₓvᵧ−uᵧvₓ. المساحة الموجهة للرباعي المتتالي هي det(u,v)/2. أما متوازي أضلاع المنتصفات فمتجها ضلعيه u/2 و v/2، فتكون مساحته|det(u,v)|/4. في الرباعي المحدب، القيمة المطلقة للمساحة الموجهة هي مساحته المعتادة، فتظهر نسبة النصف. وللتحقق من هوية مساحة الأصل، وسع مجموع det(A,B) و det(B,C) و det(C,D) و det(D,A)؛ تجده det(C−A,D−B). نصف هذا المجموع هو المساحة الموجهة حسب ترتيب الرؤوس.

طولا القطرين في مثالنا هما AC=√128=8√2 و BD=√160=4√10. لأن الشكل الجديد له زوجان متساويان من الأضلاع، فمحيطه 2(4√2+2√10)=8√2+4√10. لا نأخذ نصف محيط الأصل؛ النتيجة تعتمد على القطرين، لا على مجموع أطوال أضلاعه الأربعة.

المركز ونوع الشكل الجديد

منتصف EG هو (4,3)، ومنتصف FH هو (4,3) أيضًا. نسميه O. في الحساب العام، O=(A+B+C+D)/4. لذلك تنصف القطعتان الواصلتان بين منتصفي الضلعين المتقابلين بعضهما عند O، وهي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع الجديد.

لا تجعل O نقطة تقاطع قطري الأصل بالضرورة. في مثالنا، خط AC هو y=x وخط BD هو y=(10−x)/3. يتقاطعان عند (5/2,5/2)، وهي نقطة مختلفة عن (4,3). متوسط الرؤوس الأربعة يحدد مركز الشكل الجديد، ولا يفرض أن قطري الأصل ينصفان بعضهما.

بما أن الضلعين الجديدين نصفا القطرين كمتجهين، فهما متعامدان إذا وفقط إذا تعامد القطران. لذلك يكون الشكل الجديد مستطيلًا بالضبط عندما يتعامد قطرا الأصل، مع افتراض عدم انعدام الشكل. ويكون معينًا بالضبط عندما يتساوى طولا القطرين.

إذا جمع القطران التعامد وتساوي الطول، اجتمع الشرطان في الشكل الجديد وصار مربعًا. هذه شروط على قطري الأصل، وليست حكمًا بأن شكل الأصل والشكل الجديد لهما الاسم نفسه. الرسم الداخلي يقارن ثلاثة أمثلة بإحداثيات وأطوال معلنة.

مستطيل 10×6 له مربعَا طولَي القطرين 136 و 136، لكن ضربهما القياسي −64، فلا يتعامدان؛ الناتج معين غير مربع. معين ذو قطرين 10 و 6 يعطي مربعي طول 100 و 36 وضربًا قياسيًا 0؛ الناتج مستطيل غير مربع. مربع ضلعه 6 يعطي القيم 72 و 72 و 0، فالناتج مربع.

الشكل المتقاطع يكشف حدود معنى المساحة

لنغيّر المعطيات إلى A=(0,0)، B=(6,4)، C=(0,4)، D=(6,0)، ونصل الرؤوس بالترتيب. يتقاطع AB مع CD عند (3,2)، فينشأ شكل بفصين. هذا ليس رباعيًا محدبًا، فلا ننقل إليه عبارة نصف المساحة المملوءة دون تحديد معنى المساحة.

منتصفات أضلاعه E=(3,2)، F=(3,4)، G=(3,2)، H=(3,0). تتطابق E و G، وتقع النقاط كلها على x=3. لذلك مساحة شكل المنتصفات 0. ما زالت مساواة المتجهات صحيحة، لكنها لم تنتج شكلًا ذا مساحة موجبة.

الفص السفلي مثلث قاعدته AD طولها 6 وارتفاع التقاطع عنها 2، فمساحته 6. والفص العلوي له القاعدة BC بالطول نفسه والارتفاع نفسه، فمساحته 6. مجموع المساحتين المملوءتين 12؛ نصفه 6، وهو لا يساوي مساحة شكل المنتصفات.

أما المساحة الموجهة الناتجة عن ترتيب الرؤوس، فيدخل الفصان بإشارتين متعاكستين؛ فتساوي 6−6=0. هنا AC=(0,4) و BD=(0,−4)، ومحددُهما 0. الهوية الجبرية للمساحة الموجهة صحيحة، لكن تفسيرها بوصفها مساحة كل المناطق المملوءة معًا غير صحيح.

يفيد المثال في المراجعة: ثبات صيغة إحداثية لا يكفي لثبات تفسيرها الهندسي في كل رسم. عند استعمال نتيجة النصف في هذه المقالة، نرجع إلى الرباعي المحدب الأصلي. وعند بحث رسم متقاطع، نحدد هل المطلوب مجموع مناطق، أم مساحة موجهة، أم مساحة شكل المنتصفات.

التكبير ومراجعة الشروط

ضاعف إحداثيات المثال المحدب. تصبح الرؤوس A=(0,0)، B=(20,0)، C=(16,16)، D=(−4,8)، والمنتصفات E=(10,0)، F=(18,8)، G=(6,12)، H=(−2,4). كل موضع جديد هو ضعف موضعه السابق، فيتضاعف كل طول.

مساحة الأصل تصبح 256 بدل 64، ومساحة الشكل الجديد 128 بدل 32. النسبة تبقى 1/2، لكن عامل التكبير في المساحة 4. محيط الشكل الجديد يصبح 16√2+8√10، ضعف المحيط السابق، لأنه مجموع طولَي القطرين بعد تضاعفهما.

مركز الشكل الجديد O=(8,6)، ضعف (4,3). ويمكن حسابه من منتصف EG أو FH أو من متوسط الرؤوس الأربعة؛ تعطي الطرق النتيجة نفسها. تغير الإحداثيات لا يغير علاقات التوازي والتقسيم بالنصف.

راجع أن كل نقطة منتصف ضلعها، وأنك وصلت المنتصفات المتتالية حول حد الرباعي. افصل معادلات المتجهات عن معادلات الأطوال، ووحد الوحدات قبل الحساب. لا تستبدل قطري الأصل بضلعين منه عند حساب محيط الشكل الجديد.

المثال الرئيسي رباعي محدب غير منعدم في مستوى واحد؛ مساحة الشكل الجديد فيه موجبة. النتائج الجبرية للمتوسطات أوسع من ذلك، لكن الحالات المنعدمة والمتقاطعة تحتاج وصفًا صريحًا. صحة الرسم تعني تطابق مواضعه مع الحسابات، ولا تجعل الشاشة أداة لقياس الأطوال الأصلية.