إيجاد طول وعرض المستطيل من المساحة والمحيط: الحل وشروط إمكانه

سمِّ المطلوب قبل اختيار القانون

نفترض مستطيلًا هندسيًا له ضلعان متجاوران موجبان، ونسميهما L و W. سنستعمل كلمة الطول للبعد الأكبر عندما نرتب الجواب، مع السماح بتساويهما في حالة المربع. دوران الرسم على الورقة لا يغير الأبعاد؛ وكون ضلع أفقيًا في الصورة لا يجعله أطول من الضلع الرأسي بالضرورة.

إذا كانت مساحة المستطيل وأحد بعديه معلومين، فالمطلوب الآخر يأتي بالقسمة. وإذا كان المحيط وأحد البعدين معلومين، نستخرج الآخر من نصف المحيط. لكن مسألتنا الرئيسة لا تعطي بُعدًا جاهزًا؛ تعطي مساحة ومحيطًا. لذلك لا نقسم المساحة على المحيط ونسمي الناتج عرضًا، لأن المحيط ليس أحد الضلعين.

دوّن الأسماء بجوار الأرقام. عبارة 66 سم² تخبرنا بمساحة، و 34 سم تخبرنا بمحيط في المثال، وليستا ضلعين يمكن ضربهما. إذا اختلطت الأسماء، قد تنفذ قسمة صحيحة حسابيًا وتكتب وحدة طول، لكنها لا تجيب عن المطلوب. وحدة الناتج ضرورية للمراجعة، ومعنى المقام ضروري أيضًا.

العلاقتان اللتان تربطان المعطيات

أضلاع المستطيل المتقابلة متساوية، لذلك يجمع المحيط طولين وعرضين. نكتب P = 2L + 2W. ومساحته حاصل ضرب البعدين A = L W. هاتان علاقتان مختلفتان: الأولى تربط مجموعًا بالمحيط، والثانية تربط حاصل ضرب بالمساحة. لا تستبدل إحداهما بالأخرى بسبب تشابه الرموز.

نقسم المحيط على 2 ونسمي الناتج S. يصبح L + W = S. في مثال 34 سم، يساوي S مقدار 17 سم. هذا مجموع ضلعين متجاورين، وليس نصف أحد الضلعين. وإذا عرفنا أن مجموع عددين 17 وحاصل ضربهما 66، فقد حولنا السؤال الهندسي إلى سؤال جبري محدد.

يمكن التحقق من الاتساق الوحدي هنا: S وحدة طول، و A وحدة مساحة. عند تربيع S نحصل على وحدة مساحة مثل وحدة A بعد توحيد الوحدات. لذلك يمكن طرح 4A من S² لاحقًا. أما طرح A من S مباشرة فيخلط سم² مع سم؛ راجع هذه النقطة قبل إدخال الأرقام في أي صيغة.

[1]

لماذا لا يكفي رقم واحد؟ مثالان مضادان

نثبت المساحة 66 سم² في نموذجين مؤلفين. البعدان 11 و 6 يعطيانها، والبعدان 22 و 3 يعطيانها أيضًا. لكن المحيط الأول 34 سم، والثاني 50 سم. إذن مساحة واحدة توافق على الأقل هذين المستطيلين المختلفين؛ لا تستطيع اختيار 11 من 66 وحدها دون شرط إضافي. المثال المضاد يكفي لنقض دعوى التفرد.

ونثبت المحيط 34 سم في مقارنة أخرى. البعدان 11 و 6 مجموعهما 17، والبعدان 10 و 7 مجموعهما 17 كذلك. المساحتان 66 و 70 سم² مختلفتان. معرفة المحيط أبقت مجموع البعدين ثابتًا، لكنها لم تحدد حاصل ضربهما. لا تأخذ 34 وتقسمها على 4 ثم تفترض أن الناتج كل ضلع إلا إذا كان الشكل مربعًا.

لم نشترط في هاتين المقارنتين أن تكون الأبعاد أعدادًا صحيحة. لو أخذت أي W بين صفر و 17 في حالة المحيط 34، فإن L=17−W يبقى موجبًا. هذه عائلة من أزواج أبعاد، لا جواب واحد. عندما تضيف المساحة تتقلص الخيارات إلى ما يحقق حاصل الضرب المطلوب أيضًا.

كوِّن المعادلة من المثال لا من شكل الرسم

في مثالنا الرئيس نكتب مجموع البعدين 17 وحاصل ضربهما 66. إذا رمزنا لأحدهما بـ x، فالآخر 17−x . نضعهما في علاقة المساحة: x(17 − x) = 66. لا نختار 17−x من تخمين بصري؛ اخترناه لأن الضلعين يجب أن يجتمعا إلى 17 وفق نصف المحيط.

بفك الضرب نجد 17x − x² = 66، ثم نرتب الحدود: x² − 17x + 66 = 0. ويمكن قراءة كل حد مع وحداته إذا كان x طولًا: التربيع مساحة، و 17 سم مضروبًا في x مساحة، و 66 سم² مساحة. الشكل العددي المعتاد يفترض أننا اتفقنا على السنتيمتر.

يشترط المعنى الهندسي 0 < x < 17، حتى يبقى الضلع الآخر موجبًا. لا يكفي إيجاد رقم يحقق معادلة من دون مراجعة هذا المجال. في مثالنا سنحصل على رقمين داخله؛ وفي مسائل أخرى قد نجد تعارضًا يجعل المعطيات غير مناسبة لمستطيل غير منعدم.

حل المثال بالتحليل: 11 و 6

نبحث عن عددين مجموعهما 17 وحاصل ضربهما 66. العددان 11 و 6 يحققان الشرطين، فتتحلل المعادلة إلى (x − 11)(x − 6) = 0. ومن خاصية حاصل الضرب الصفري تكون قيمة x إما 11 أو 6. اختيار أحدهما يجعل البعد الآخر 17 ناقص القيمة المختارة.

إذا كان x=6 ، يصبح الآخر 11. وإذا كان x=11 ، يصبح الآخر 6. نرتب الناتج وفق اصطلاحنا: الطول 11 سم والعرض 6 سم. ثم نعيد حساب المحيط 2(11 + 6) = 34 سم، والمساحة 11 × 6 = 66 سم². نجح الزوج في المعطيات الأصلية معًا.

المحاولة ليست حفظًا لزوج أعداد. مثلًا 10 و 7 مجموعهما 17، لكن حاصل ضربهما 70 لا 66؛ فلا يقبلان في هذا المثال رغم نجاح شرط المحيط. أما 22 و 3 فحاصل ضربهما 66، لكن مجموعهما 25 لا 17؛ يفشلان في شرط المحيط. الاختبار المزدوج يوضح لماذا لا تكفي مراجعة عملية واحدة.

الصيغة العامة باستخدام نصف المحيط

للمحيط P والمساحة A، وبعد توحيد الوحدات، نضع S=P/2 . يصبح البعد الآخر S−x ، فنحصل على x² − Sx + A = 0. في القانون التربيعي معامل التربيع 1، ومعامل x هو −S ، والحد الثابت A. نحتفظ بالإشارة السالبة عند التعويض، لأن حذفها يغير المعادلة.

نرمز للمميز هنا بـ D فنكتب D = S² − 4A. والحلان العدديان x = (S ± √D)/2. هذه الصيغة تعطي كلا البعدين عندما تكون الشروط مناسبة، ولا تحتاج وجود تحليل إلى عوامل صحيحة. المميز تعبير تحت الجذر؛ لا تسمي√D نفسه مميزًا.

في مثال 34 و 66 يكون S=17 ، ومن ثم D = 17² − 4×66 = 289 − 264 = 25. جذره 5، فيعطي (17 + 5)/2 = 11 و (17 − 5)/2 = 6. لا تقسم 5 على 2 وحده ثم تضفه إلى 17؛ القسمة تخص البسط كله.

[2]

الجذران لا يعنيان دائمًا شكلين مختلفين

المتغير x في معادلتنا لم يحمل اسم الضلع الأكبر منذ البداية. لذلك يمكن أن يمثل 6 أو 11. الجذران يصفان التبادل بين ضلعين للزوج نفسه. إذا تجاهلنا اتجاه وضع المستطيل وأسماء أطرافه، فزوج 11 و 6 وزوج 6 و 11 هما الأبعاد نفسها، ولا يحتاج السؤال إلى جوابين هندسيين مختلفين.

لو نص السؤال على أن x هو العرض الأصغر، نستبقي 6 لهذا الاسم، ونضع 11 للطول. أما إذا كان x ضلعًا أفقيًا مسمى في مخطط، فقد تحتاج قرينة عن اتجاه وضع الشكل لتعرف أي الرقمين أفقي. المساحة والمحيط لا يحددان هذا الاتجاه على الورقة، وإن حددا الزوج غير المرتب.

هذا التفريق يمنع تناقضًا ظاهريًا: المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان، بينما مسألة الأبعاد المرتبة قد يكون لها جواب واحد. لا نحذف جذرًا بوصفه خطأ لمجرد أنه الأكبر أو الأصغر؛ ننظر إلى تعريف المتغير. وفي حالة المربع تتساوى القيمتان أصلًا، فيزول حتى اختلاف الرقمين.

شرط الإمكان: المساحة لا تتجاوز حدًا معينًا

يحتاج الجذر في الحل إلى D غير سالب. ومع S=P/2 ، يصبح الشرط A ≤ S²/4 = P²/16. ونحتاج كذلك P موجبًا و A موجبة لمستطيل غير منعدم. هذه شروط المدخلات في نموذج الأطوال الحقيقية؛ لا نستعمل جذورًا عقدية بوصفها أطوال أضلاع على الورقة.

يمكن فهم الحد دون حل معادلة كاملة. من A = x(S − x) نحصل بإكمال المربع على A = S²/4 − (x − S/2)². المربع الأخير لا يقل عن صفر، ولذلك لا يمكن أن تزيد A على S²/4 . تبلغها عندما x=S/2 ، فيتساوى البعدان.

في محيط 34 سم، يكون الحد 34²/16 = 72.25 سم². مثال 66 تحته، ومثال 70 تحته أيضًا، لكنهما مستطيلان مختلفا الأبعاد. قيمة الحد تفحص إمكان مساحة ما لهذا المحيط؛ لا تختار وحدها أبعاد حالة تقل عنه إلا بعد استعمال المساحة المعطاة.

[2]

معطيات مستحيلة: لا تخفِ المميز السالب

نؤلف بطاقة تقول إن المحيط 24 سم والمساحة 37 سم². نصف المحيط 12، والمميز 12² − 4×37 = 144 − 148 = −4. إذن لا توجد أبعاد حقيقية تحقق البطاقة بوصفها مستطيلًا غير منعدم. ويمكن الوصول إلى النتيجة نفسها لأن أكبر مساحة لمحيط 24 هي 36 سم².

لا نستبدل −4 بقيمته المطلقة 4 لنكمل الحل. هذا يغير البيانات بدل حلها. ولو فعلنا ذلك لاختلقنا البعدين 7 و 5، اللذين يعطيان محيط 24 فعلًا لكن مساحة 35 لا 37. إعادة التعويض تكشف أن الرقم المقبول ظاهريًا يخص مسألة أخرى. ظهور قيمة سالبة قد يكون رسالة مهمة عن المعطيات.

في سؤال مدرسي دقيق نقول إن الشروط متعارضة. وإذا كانت القيم من قياسات أو سجل تقريبي، نراجع الوحدات وحدود القياس والدقة قبل أي تفسير إضافي. لا يثبت التعارض وحده أن الشكل الحقيقي مستحيل أو أن جهازًا بعينه أخطأ؛ يثبت أن الأرقام كما استعملناها لا تحقق النموذج المحدد.

المربع حالة مقبولة عند تساوي الجذرين

نغير المساحة في البطاقة السابقة إلى 36 سم²، ونبقي المحيط 24 سم. يصبح D=144−144=0 ، فيعطي الحل 6 سم في المرتين. البعدان 6 و 6، والمحيط 24 والمساحة 36. هذا مربع، وهو حالة خاصة من المستطيل في التعريف الذي يسمح بتساوي الضلعين المتجاورين.

إذا قال نص المسألة مستطيلًا غير مربع، فهذه البطاقة لا تحقق قيد عدم التساوي. أما إذا قال مستطيلًا فقط وفق التعريف المعتاد، فلا نرفضها لأن الجذور تطابقت. يهم أن نميز بين تعريف الشكل والقيد الإضافي الذي وضعه السؤال. نحن لم نضف من تلقاء أنفسنا شرط أن يكون الطول أكبر بصرامة.

في الصيغة العامة، يساوي ضلع المربع P/4 ، ومساحته P²/16 . هذه العلاقة تشرح سبب الحد السابق بدل تقديمه كرقم للحفظ. وعندما تقل المساحة قليلًا مع ثبات المحيط، يبتعد الضلعان عن التساوي بمقدارين متقابلين حول S/2 ؛ سنرى ذلك في مثال التقريب لاحقًا.

جذور غير صحيحة: جواب دقيق وآخر تقريبي

نختار محيطًا 20 سم ومساحة 23 سم². نصف المحيط 10، والمميز 8، فيكون البعدان 5 + √2 و 5 − √2 سم. كلاهما موجب، وإن لم يكن عددًا صحيحًا. لا ترفض الجواب لأنه لم يظهر بين أزواج عوامل 23 الصحيحة؛ الأطوال لم تُقيد بالأعداد الصحيحة.

جمع الجوابين يعطي 10 بالضبط، وحاصل ضربهما (5 + √2)(5 − √2) = 25 − 2 = 23. فالمحيط 20 والمساحة 23 وفق المدخلات. هذه مراجعة دقيقة بالجذور، دون حاجة إلى سلسلة طويلة من المنازل العشرية. ويمكن عرضهما أيضًا بنحو 6.4142 و 3.5858 سم.

إذا قرّبنا البعدين إلى 6.41 و 3.59، يظل مجموعهما 10 هنا، لكن حاصل الضرب 23.0119 سم²، لا 23 تمامًا. لا نجعل الفرق دليلًا على فشل الحل الدقيق؛ فقد نتج من تقريب الأبعاد. افصل الجواب الذي يحتوي الجذر عن تمثيله العشري، وبيّن علامة التقريب عندما لا تستعمل القيم الدقيقة.

الوحدات: عامل المساحة مربع عامل الطول

لنكتب مثالنا الرئيس بوحدة المتر: المحيط 0.34 م والمساحة 0.0066 م². نصف المحيط 0.17 م، والمميز 0.0025 م²، وجذره 0.05 م. ينتج البعدان 0.11 و 0.06 م، أي 11 و 6 سم. لم يتغير الشكل عندما تغير اسم الوحدة؛ تغيرت قيم الأرقام وفق عامل التحويل المناسب.

كل متر يساوي 100 سم، لذلك المتر المربع يساوي 10000 سم². إذا حولت 0.0066 م² بضرب 100 فقط، فلن تحصل على 66 سم². يمكن فهم العامل من مربع ضلعُه متر: في كل اتجاه مئة سنتيمتر، فتوجد عشرة آلاف خلية من مربع السنتيمتر في النموذج. لهذا نراجع نوع الوحدة قبل الحساب.

ويجوز أن نعطي المحيط 34 سم والمساحة 0.0066 م² في بطاقة واحدة، لكننا نوحدهما قبل صيغة المميز. نختار تحويل المساحة إلى 66 سم² أو تحويل المحيط إلى 0.34 م. لا نطرح 4×0.0066 من 17² مباشرة إذا كانت الوحدات مختلفة؛ تشابه شكل الأرقام لا يجعلها كميات قابلة للجمع.

[3]

التقريب قرب المربع: المدخلات الجديدة تعطي أبعادًا جديدة

نثبت المحيط 34 سم، ونختار مساحة 72.24 سم² قيمةً دقيقة للمسألة. يكون S=17 و D=289−288.96=0.04 ، وجذره 0.2. لذلك البعدان 8.6 و 8.4 سم. مجموعهما 17 وحاصل ضربهما 72.24، ويبتعدان عن 8.5 بمقدار 0.1 في اتجاهين متعاكسين.

لو قرّبنا المساحة قبل الحل إلى 72.2، لصار D=0.2 ، والبعدان نحو 8.7236 و 8.2764 سم. هذا حل البطاقة المقربة، وليس إعادة استخراج مؤكدة للبطاقة الدقيقة. وإذا قربنا إلى 72، نحصل على 9 و 8 سم. اختلاف المنازل التي احتفظنا بها غيّر الأبعاد المستنتجة رغم بقاء المحيط نفسه.

ليس الدرس أن التقريب ممنوع، بل أن موعده ومعناه جزء من الحل. احتفظ بالمدخلات المتاحة أثناء الحساب ثم قرّب الناتج وفق الغرض. وإذا كانت البيانات الأصلية نفسها تقريبية، فلا نقدم أبعادًا طويلة بوصفها قياسًا دقيقًا. قرب الحد الأعلى للمساحة، تتغير الجذور بوضوح عندما يتغير المقدار الصغير تحت الجذر.

قراءة الرسم: المحور يصف خيارًا لأحد الضلعين

نرسم في الشكل الداخلي العلاقة A = x(17 − x) لأزواج أبعاد مجموعها 17. يصف المحور الأفقي قيمة x، ويصف الرأسي المساحة. عند خط المساحة 66، يظهر تقاطعان عند 6 و 11. ليسا مستطيلين جديدين؛ هما تبادل الدور بين بعدين للمثال نفسه.

أعلى المنحنى عند x=8.5 والمساحة 72.25، وهي حالة المربع ذات المحيط 34. أما عند x=10 فالمساحة 70، وعند x=7 تكون 70 أيضًا. من التماثل يمكن رؤية أن جعل ضلع أطول بالقدر نفسه الذي يجعل الآخر أقصر يبقي المجموع ثابتًا، لكنه يغير المساحة تبعًا لموضع الزوج.

النقطتان عند x=0 و x=17 تعطيان مساحة صفرية في الامتداد الجبري. لا نعدهما مستطيلين غير منعدمَين في مسألتنا؛ نستخدم المجال المفتوح بينهما للأطوال الموجبة. والرسم من معادلة معلنة، لا سجل قياس. فائدته عرض الإمكان والتبادل وحد المساحة مع حفظ مقياس كل محور.

عرض الرسم بالحجم الكامل

لا تجمع مساحة من حد مع محيط من حد آخر

نؤلف إطارًا خارجيًا مستطيلًا أبعاده 11 و 6 سم، ونجعل الحافة بعرض 0.5 سم من كل جانب. أبعاد الفتحة الداخلية في هذا النموذج 10 و 5 سم، ومساحتها 50 سم² ومحيطها 30 سم. أما المستطيل الخارجي فمساحته 66 ومحيطه 34. السؤال عن الأبعاد يجب أن يحدد أي الحدين يقصد.

لو أخذنا مساحة الخارج 66 ومحيط الداخل 30 وطبقنا الصيغة كأنهما للشكل نفسه، لوجدنا D = 225 − 264 = −39 . لا تعني النتيجة أن رسم الإطار تناقض هندسيًا؛ لقد خلطنا خانتين تخصان حدين مختلفين. أسماء القياس تحمي الحساب من جمع معلومات صحيحة منفردة في بطاقة غير صحيحة.

يمكن مراجعة الحافة بالمساحة أيضًا:66 ناقص 50 يساوي 16 سم² في النموذج المختار. لا ندخل هذه المساحة في صيغة أبعاد الفتحة ونستعمل محيط الخارج معها. الرسم ووصف الحد ينبغي أن يرافقا كل قيمة. أما القياس العملي لقطعة فعلية، فيحتاج وصفها وأرقامها، ولا تنتقل إليه مقاسات إطارنا المؤلف.

معلومة إضافية: هل توافق الزوج المستخرج؟

بعد حل 34 و 66 نحصل على 11 و 6. إذا قالت البطاقة إن الفرق بين الطول والعرض 5 سم، تحقق الشرط 11 − 6 = 5. وإذا قالت بدلًا منه 4 سم، لم تعد الشروط الثلاثة متوافقة. لا نغير المساحة حتى يصبح الفرق 4 ثم نزعم أننا حللنا البطاقة الأولى.

يمكن استخدام الشرط الإضافي بوصفه مراجعة، أو جعله مع المحيط مدخلًا لمسألة أخرى. مع مجموع 17 وفرق 5 نجمع العلاقتين فنحصل على ضعف الأكبر 22، أي 11، ثم الأصغر 6. أما المجموع 17 والفرق 4 فيعطيان 10.5 و 6.5، ومساحتهما 68.25، فتظهر بدقة الكمية التي اختلفت.

كل قيد جديد يجب أن يختبر على الأبعاد نفسها. لا تحقق شرطًا بزوج وشرطًا آخر بزوج مختلف ثم تجمعهما في جواب واحد. هذا مبدأ مفيد عندما تحتوي ورقة المسألة مساحة ومحيطًا ونسبة أو فرقًا؛ كثرة المعلومات لا تضمن اتساقها، لكنها تمنحك فرصًا أكثر لاكتشاف خطأ القراءة.

تمارين مستقلة مع حلول ومراجعة

التمرين الأول: محيط 30 سم ومساحة 56 سم². نصف المحيط 15، والمميز 225−224=1 ، فيكون البعدان 8 و 7 سم. مراجعة المحيط تعطي 30، ومراجعة المساحة 56. إذا غيرنا المساحة إلى 56.25 مع المحيط نفسه، يصبح الشكل مربعًا ضلعه 7.5 سم. وإذا جعلنا المساحة 57، تجاوزنا الحد الأعلى 56.25.

التمرين الثاني: محيط 50 سم ومساحة 150 سم². نصف المحيط 25، والمميز 625−600=25 ، فنحصل على 15 و 10 سم. يمكن تحليل المعادلة إلى عاملين بفارق 5 بين الجذرين، أو استعمال القانون مباشرة. اختر الطريقة التي توضح لك المجموع وحاصل الضرب، ثم اختبرها في المعطيات.

التمرين الثالث يعطي مساحة 66 سم² فقط، دون محيط أو ضلع أو علاقة أخرى. لا نختار 11 و 6 تلقائيًا؛ يمكن أن يكون 22 و 3 أو غيرهما. الجواب المطلوب هنا بيان أن المعلومات لا تكفي لزوج وحيد. وإذا أضيف المحيط 34، يصبح مثالنا الرئيس قابلًا للحل المحدد الذي رأيناه.

قائمة مراجعة قبل اعتماد الأبعاد

ابدأ بتحديد أن الشكل مستطيل، وأن المساحة والمحيط يخصان حدوده نفسها. اكتب وحدات متسقة، ثم نصف المحيط ومربع نصف المحيط. احسب D وراجع علامته مع إيجابية P و A. إذا كانت المدخلات ممكنة، استخرج العددين ورتبهما وفق تعريف الطول والعرض الذي اختاره السؤال.

أعد حساب حاصل الضرب وضعف المجموع بالقيم الدقيقة قدر الإمكان. إذا فشل أحدهما، فلا تكتفِ بتطابق الآخر. راجع نصف المحيط والإشارة والقسمة على البسط كله وتحويل المساحة. ويجب أن يظل الضلعان موجبين؛ مساحة صفرية أو ضلع سالب لا تصف النموذج غير المنعدم الذي بدأنا به.

للتوسع في مسائل المحيط التي تعطي ضلعًا أو علاقة جاهزة، اقرأ مسائل محيط المستطيل والبعد المجهول. ولتفصيل القانون العام، اقرأ حل المعادلات التربيعية بالمميز. تركيز هذا المقال هو استخراج الزوج من المساحة والمحيط معًا، وفحص إمكانه ومعنى الحل.