دالة إشارة المصفوفة: افصل الاتجاهين دون حفظ الطول

ابنِ الإشارة في الأساس الذاتي

إذا A=XDX⁻¹ وD قطرية، فإشارتها S=Xdiag(sign(λᵢ))X⁻¹، مع عدم وجود قيمة ذاتية على المحور التخيلي. [1]

نختار A=[[3,12],[0,−1]]؛ الفواصل بين المجموعات تفصل الصفوف. نجد A(1,0)=3(1,0)، وA(−3,1)=(3,−1)=−(−3,1). إذن v₊=(1,0) وv₋=(−3,1) اتجاهان ذاتيان مستقلان.

ضع X=[[1,−3],[0,1]] بأعمدة من الاتجاهين، وX⁻¹=[[1,3],[0,1]]. حاصل XX⁻¹=I، وXdiag(3,−1)X⁻¹=[[3,12],[0,−1]]=A.

نستبدل القيمتين3 و−1 بإشارتيهما1 و−1 في هذا الأساس، ثم نعود للإحداثيات الأصلية: S=Xdiag(1,−1)X⁻¹=[[1,6],[0,−1]]. العنصر6 ليس خطأ؛ فالإشارة المصفوفية لا تقيد كل عنصر إلى1 أو−1.

نراجع الأثر: Sv₊=(1,0)=v₊، وSv₋=(3,−1)=−v₋. والضرب S²=[[1,6−6],[0,1]]=I. لأي x=(p,q)، يكون Sx=(p+6q,−q)، ثم S(Sx)=(p,q).

إشارة العناصر والعودة مرتين لا تثبتان حفظ الطول

دالة sign في MATLAB للمصفوفة الحقيقية تعيد إشارة كل عنصر:1 للموجب،0 للصفر،−1 للسالب. [2] هذا تعريف عملية أخرى.

بتطبيقها على عناصر مثالنا نحصل على T=[[1,1],[0,−1]]. لكنها ترسل v₋=(−3,1) إلى(−2,−1)، بينما المطلوب في الإشارة المصفوفية هو−v₋=(3,−1).

حتى الاختبار T²=I لا يكشف الخطأ هنا؛ فهو صحيح. وبالفحص الإضافي نجد AT=[[3,−9],[0,1]] وTA=[[3,11],[0,1]]، فهما مختلفان. أما AS=SA=[[3,6],[0,1]] في مثالنا.

الطول الإقليدي لـ(p,q) هو√(p²+q²). [3] خذ x=(1,2): ‏Sx=(13,−2)، فيكون ||x||²=5 و||Sx||²=173. تطبيق S مرة ثانية يعيد x، لكنه لا يلزم أن يحفظ طول المرحلة الأولى.

نحسب كذلك SᵀS=[[1,6],[6,37]]، فلا يساوي I. مثالنا مصفوفة مربعها الوحدة، لكنها ليست متعامدة؛ وSᵀ≠S. تختلف هذه الصفات حتى مع تشابه أسمائها أو ظهور I في اختباراتها.

استخرج مسقطين مائلين من S

المصفوفتان P₊=(I+S)/2 وP₋=(I−S)/2 مسقطان على الفضاءين المرتبطين بالقيم الذاتية ذات الجزء الحقيقي الموجب والسالب. [1]

في المثال P₊=[[1,3],[0,0]] وP₋=[[0,−3],[0,1]]. نجد P₊²=P₊ وP₋²=P₋، وP₊+P₋=I، وP₊P₋=P₋P₊=0.

لأي x=(p,q)، يعطي P₊x=(p+3q,0)، وP₋x=(−3q,q)=qv₋. مجموعهما(p,q) يعيد x. الأول على اتجاه v₊، والثاني على اتجاه v₋؛ وكل مسقط يزيل الاتجاه الآخر.

مثلًا x=(1,2) ينفصل إلى P₊x=(7,0) وP₋x=(−6,2). الضرب الداخلي للجزأين7×(−6)+0×2=−42، فلا يتعامدان. كذلك مجموع مربعي طوليهما49+40=89 يختلف عن مربع طول x، وهو5.

إذن هذا فصل على اتجاهين مستقلين مائلين، لا فصلًا متعامدًا. P₊ᵀ≠P₊ وP₋ᵀ≠P₋ في مثالنا. الإحداثي q يحدد الجزء على v₋، والإحداثي p+3q يحدد الجزء على v₊؛ إنهما معاملا كتابة x=(p+3q)v₊+qv₋.

وأثر S واضح بهذا الفصل: Sx=P₊x−P₋x. عند x=(1,2)، نحسب(7,0)−(−6,2)=(13,−2)، فنصل إلى الصورة نفسها بطريق ثانٍ.

افحص القيم الذاتية قبل حساب الإشارة

تُستبعد القيم الذاتية ذات الجزء الحقيقي صفرًا، بما فيها الصفر نفسه. [1] عدم الانفراد وحده لا يكفي لفحص النطاق.

لنفحص B=[[0,−4],[1,0]]: محددها4، ومعكوسها[[0,1],[−1/4,0]]. لكن det(λI−B)=λ²+4، فتكون القيمتان±2i، حيث i²=−1. كلتاهما على المحور التخيلي، لذا لا نعرّف sign(B) بالنطاق المستخدم هنا.

وجود العنصر الصفري a₂₁=0 لم يمنع مثال A: قيمتاه3 و−1 خارج المحور التخيلي، ولذلك تدخل النطاق.

يوضح C=diag(3,0) الحد بصورة أبسط: له قيمة ذاتية صفرية، فيُستبعد. أما D=diag(3,2) فإشارته I، وE=diag(3,−2) فإشارته diag(1,−1). تغير القيمة الثانية من2 إلى−2 يغير أحد الاتجاهين، والمرور بالصفر يخرج من النطاق.

كل الحسابات السابقة دقيقة لمصفوفات صغيرة. اختيار الإشارة من القيم الذاتية يشرح المعنى؛ ولا يقدم هذا المقال وصفة لحساب عددي كبير أو يساوي بين الدالة المصفوفية وأوامر الإشارة العنصرية.