مبرهنة ويلسون: المضروب والأولية واستثناء العدد أربعة

الخلاصة السريعة

لكل عدد صحيح n ≥ 2، يكون n أوليًا إذا وفقط إذا كان باقي قسمة (n−1)! على n هو n−1؛ وهذه مبرهنة ويلسون. [1]

• نحسب المضروب حتى n−1، ثم نقارن الباقي مع n−1. الصيغة المكافئة: إضافة 1 إلى المضروب تجعل الناتج قابلًا للقسمة على n بالضبط إذا كان n أوليًا. المجال أعداد صحيحة لا تقل عن 2. [1]
• في n=7، يكون 6!=720 و 720 = 7 × 102 + 6. إضافة 1 تعطي 721 = 7 × 103؛ الباقي المطلوب 6 موجود.
• بترديد 7، يجتمع 2 مع 4 لأن حاصل الضرب 8 وباقيه 1، ويجتمع 3 مع 5 لأن حاصل الضرب 15 وباقيه 1. يبقى 1 و 6، فيكون باقي المضروب 6.
• العدد 4 مركب، لكن باقي 3!=6 على 4 هو 2، وليس 0 ولا 3. أما 8 فباقي 7!=5040 عليه 0. كلا العددين يفشل شرط الأولية؛ الاستثناء يخص الباقي الصفري. [1]
• العدد 2 ينجح: 1!=1 وباقيه على 2 هو 1. لا نعمم معيارنا على 0 أو 1. والجدول يقارن ست قيم باستخدام المضروب المنتهي قبل العدد المختبر.
• يمكن أخذ الباقي بعد كل ضرب؛ في مثال 7 تمر البواقي بالترتيب 1، 2، 6، 3، 1، 6. هذا يوفر كتابة 720، لكنه لا يحذف الحاجة إلى إدخال عوامل الضرب من 2 إلى 6 في هذه الطريقة المباشرة.

نضرب حتى العدد السابق ثم نضيف واحدًا

الرمز 6! يعني 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6. علامته لا تعني التربيع، ولا تكرار ضرب 6 ست مرات. نرتب الحساب: 1 × 2 = 2، ثم 2 × 3 = 6، ثم 6 × 4 = 24، ثم 24 × 5 = 120، ثم 120 × 6 = 720.

العدد 721 يقبل القسمة على 7: حاصل القسمة 103 والباقي 0. أما 720 نفسه فباقيه 6. الفرق بين الاختبارين هو إضافة 1؛ لا نستبدل شرط قسمة المضروب زائد واحد بقسمة المضروب وحده.

تقول مبرهنة ويلسون إن n أولي إذا وفقط إذا كان (n−1)! ≡ −1 (mod n)، لعدد صحيح n ≥ 2. الباقي غير السالب الذي يمثّل −1 هنا هو n−1. [1]

في المثال 7، لدينا 6 ≡ −1 (mod 7) لأن الفرق 7. لا نقول إن 6 يساوي −1 كعددين عاديين؛ التطابق يصف قسمة الفرق. لو حسبنا 7! لأدخلنا العامل 7 نفسه، فصار الباقي 0، وفقدنا الاختبار المطلوب.

كيف يفسر ترتيب العوامل الباقي في مثال سبعة؟

نغير ترتيب العوامل الستة دون حذفها: 1 × 6 × (2 × 4) × (3 × 5). البواقي لزوجي الأقواس 1 و 1، فيبقى حاصل 1 × 6 × 1 × 1، وباقيه 6. الصورة الرئيسية تظهر كل عامل مرة واحدة؛ لون الزوج يجمع عاملين مختلفين.

العدد 4 معكوس 2 الضربي بترديد 7 لأن 2 × 4 = 8 = 7 + 1. والعدد 5 معكوس 3 لأن 3 × 5 = 15 = 7 × 2 + 1. المعكوس هنا ليس الكسر 1/2 أو 1/3، بل ممثلًا صحيحًا يترك الضرب معه باقي 1.

كذلك 1 × 1 باقيه 1، و 6 × 6 = 36 باقيه 1 على 7. لكننا لا نضع 1 مرتين أو 6 مرتين في المضروب؛ ذكر المربع يوضح أن لكل منهما معكوسًا هو نفسه. في حاصل المضروب الأصلي يظهر كل منهما مرة واحدة فقط.

هذا تفسير عددي كامل للمثال 7، وليس برهانًا عامًا مستنتجًا من تجربة عدد واحد. المبرهنة العامة موثقة في المرجع؛ والحساب يبين كيف تتوافق معها عوامل مثالنا دون افتراض أن حاصل الضرب العادي يساوي −1.

لماذا أربعة استثناء للباقي الصفري؟

للعدد المركب n، يكون باقي (n−1)! على n هو 0، باستثناء n=4. هذا الاستثناء لا يجعل 4 أوليًا؛ شرط ويلسون يحتاج الباقي n−1، وليس مجرد باقي غير صفري. [1]

في 4، نحسب 3!=6 = 4 × 1 + 2. المطلوب لو كان العدد أوليًا هو 3، بينما الموجود 2. وبعد إضافة 1 نحصل على 7 الذي لا يقبل القسمة على 4. وفي 8، نحسب 7!=5040 = 8 × 630؛ وإضافة 1 تترك باقي 1، فلا تنجح أيضًا.

لفهم الحالة المركبة، اكتب n=a × b بعاملين صحيحين لا يقلان عن 2 وأصغر من n. إذا اختلف a و b، يظهر العاملان في المضروب السابق للعدد، فتظهر القسمة على n. مثل 8=2 × 4: كلا 2 و 4 موجود في 7!.

إذا تساوى العاملان، فليس كافيًا أن نكرر العامل من عندنا. عند n=a² و a ≥ 3، يظهر a و 2a كعددين مختلفين أصغر من n؛ حاصل ضربهما 2a² من مضاعفات n. مثال 9: العاملان 3 و 6 موجودان في 8!، وحاصلهما 18 يقبل القسمة على 9.

أما 4=2² فلا نجد 2a=4 داخل 3!؛ يتوقف المضروب عند 3. هذا يشرح موضع الاستثناء في هذا الاستدلال. الجدول يقارن الباقي الحقيقي بالهدف n−1، ولا يساوي بين فشل الباقي الصفري والنجاح في شرط الأولية.

اثنان وحدود مجال الاختبار

عند n=2، العدد السابق 1 ومضروبه 1. الباقي 1 يساوي n−1، وإضافة 1 تعطي 2 القابل للقسمة على 2. لذلك لا نستبعد 2 لمجرد أن شرح زوجي 2 و 4 و 3 و 5 احتاج مثالًا أكبر.

المجال في المقال يبدأ من 2. لا نصنف 0 أو 1 بهذا الاختبار، ولا نحتاج إلى إسناد مضروب لعدد سالب عند 0. وافحص أن n عدد صحيح قبل نقل السؤال إلى حساب البواقي؛ مثالنا ليس قاعدة لتصنيف الكسور.

نحسب الباقي تدريجيًا مع الحفاظ على العوامل

ابدأ بباقي 1. اضرب في 2 وخذ الباقي على 7 فتحصل على 2. اضرب في 3 فالباقي 6. اضرب في 4: 24 باقيه 3. ثم اضرب في 5: 15 باقيه 1. وأخيرًا اضرب في 6 فالباقي 6. البواقي 1، 2، 6، 3، 1، 6 توافق حاصل 720 النهائي.

جواز استبدال عدد بباقيه عند الضرب واضح من كتابة العدد 7q+r؛ ضربه في عامل k يعطي 7qk+rk. الجزء الأول يقبل القسمة على 7، فيحدد rk الباقي الجديد. هذه مساواة حسابية توضح سبب المحافظة على الباقي، لا حذفًا لأي عامل.

الصورة الداخلية تقارن سلسلة 7 بسلسلة 4: البواقي في الثانية 1، 2، 2، لأن 2 × 3 = 6 وباقيه على 4 هو 2. كل لوحة تستخدم قاسمها الخاص؛ لا ننقل باقي إحدى اللوحتين إلى الأخرى.

في التنفيذ المباشر للعدد n، نحتاج عوامل 2 حتى n−1، أي n−2 عمليات ضرب مع أخذ الباقي إذا بدأنا من 1. قد تتجنب الطريقة كتابة مضروب ضخم، لكن المبرهنة وحدها لا تثبت أن هذا التنفيذ سريع للأعداد الكبيرة. سجّل n، ونهاية المضروب، والباقي، والقيمة المطلوبة قبل إصدار الحكم.