متباينة مجموع تشيبيشيف: متوسط الضرب يختلف عن ضرب المتوسطين

الخلاصة السريعة

في المثال، متوسط النواتج 62/3 يساوي 186/9، وهو أكبر من 143/9 بمقدار 43/9. عند عكس القائمة الثانية يصبح متوسط النواتج 32/3، أصغر من 143/9. ترتيب الاقتران جزء من المسألة، ولا يجوز مساواة العمليتين تلقائيًا.

• لقائمتين حقيقيتين غير خاليتين بالطول نفسه وبترتيب مشترك تصاعدي أو تنازلي، متوسط النواتج لا يقل عن حاصل ضرب المتوسطين. [1]
• في 1,4,6 و 2,3,8، النواتج 2,12,48؛ مجموعها 62. متوسطها 62/3، بينما حاصل ضرب المتوسطين 143/9، والفارق 43/9.
• اكتب الفارق المضروب في مربع عدد المواضع D؛ نجده مجموع حاصلَي فرق لكل زوج من المواضع. في مثالنا حدود الأزواج 3,30,10 ومجموعها 43؛ نقسم على 9 لإعادة فارق المتوسطين.
• عكس القائمة الثانية إلى 8,3,2 يعطي مجموع نواتج 32 والفارق −47/9. أما 3,8,2 فليست مرتبة: المجموع 47 والفارق −2/9؛ لا نطبق شرط الترتيب عليها.
• تساوي بعض القيم لا يضمن المساواة. للقائمتين المرتبتين في الاتجاه نفسه، تتحقق المساواة إذا كانت إحداهما ثابتة؛ حالة الموضع الواحد داخلة. الإشارات السالبة لا تمنع برهان الفروق.
• نحسب متوسطًا بسيطًا بأوزان متساوية ونحفظ الأزواج المعطاة. ترتيب عمود وحده يغير الاقتران؛ الأمثلة حسابات مجردة، ولا تثبت علاقة سببية بين بيانات حقيقية.

نحسب المتوسطين ومتوسط النواتج منفصلين

عدد المواضع n=3. مجموع القائمة الأولى 11 ومتوسطها 11/3؛ مجموع الثانية 13 ومتوسطها 13/3. حاصل ضرب المتوسطين هو 143/9. في المقابل نضرب في كل موضع ثم نجمع: 2 + 12 + 48 = 62، فنقسم على 3 لنحصل على 62/3.

لتوحيد المقام نكتب 62/3 = 186/9. طرح 143/9 يعطي 43/9. لا نطرح 62 من 143؛ هذان يمثلان مجموع النواتج وحاصل ضرب المجموعين، وهما مرحلتان مختلفتان قبل التطبيع.

الجدول يحفظ المواضع الثلاثة، ولكل صف زوج واحد. القيم بلا وحدات، والأوزان متساوية. إذا كان السؤال يستعمل أوزانًا مختلفة فلا تستبدل القسمة على العدد بهذه الصيغة دون تحديد النموذج.

شرط الاتجاه المشترك يضبط المقارنة

متباينة مجموع تشيبيشيف تقارن متوسط النواتج بحاصل ضرب المتوسطين عندما ترتب القائمتان في الاتجاه نفسه. [1] نسمح بالتساوي بين قيم متجاورة؛ لا يلزم تزايد صارم.

نكتب P = Σaᵢbᵢ/n لمتوسط النواتج، و Q = (Σaᵢ)(Σbᵢ)/n² لحاصل ضرب المتوسطين. عند الاتجاه المشترك P ≥ Q. [1] القسمة على n² في Q نتيجة ضرب متوسطين، وليست قاعدة لقسمة مجموع النواتج.

في مثالنا 1,4,6 و 2,3,8 كلاهما تصاعدي. لو قلبنا ترتيب القائمتين معًا احتفظنا بالأزواج نفسها وبالمجموع 62، وصارتا تنازليتين. أما قلب قائمة واحدة فعملية أخرى تغير النواتج.

فروق المواضع تكشف مصدر الفارق

عرّف D = nΣaᵢbᵢ−(Σaᵢ)(Σbᵢ). بالتوزيع نحصل على D = Σ(aᵢ−aⱼ)(bᵢ−bⱼ)، حيث نجمع مرة واحدة لكل زوج مواضع مختلفين ويكون i أصغر من j. لا نجمع الزوج المعكوس مرة ثانية، ولا نضيف أزواج الموضع مع نفسه.

لفحص الهوية، كل حد aᵢbᵢ يظهر في n−1 من أزواج المواضع. الحدود المتقاطعة هي −aᵢbⱼ و −aⱼbᵢ لكل زوج. مجموعها يساوي سالب جميع النواتج ذات الموضعين المختلفين. لذلك يطابق التوزيع n مرة مجموع نواتج الموضع نفسه ناقص حاصل ضرب المجموعين.

في المثال، الزوج الأول والثاني يعطي (1−4)(2−3)=3؛ الأول والثالث يعطي (1−6)(2−8)=30؛ الثاني والثالث يعطي (4−6)(3−8)=10. إذن D = 3+30+10 = 43. الحساب الآخر 3 × 62 − 11 × 13 = 43 يؤكد النتيجة.

عندما تكون القائمتان تصاعديتين، فرق القيم في كل زوج مواضع غير موجب في كلتيهما، وحاصل الضرب غير سالب. وفي الحالة التنازلية كلا الفرقين غير سالب. لذلك D غير سالب. الفارق P−Q هو D/n²؛ في الثلاثة مواضع نقسم 43 على 9، لا على 3.

لا يحتاج هذا البرهان قيمًا موجبة. مثلًا −2,1,5 و −3,2,4 قائمتان تصاعديتان. مجموع النواتج 28 ومجموعا القائمتين 4 و 3؛ فنجد D = 3 × 28 − 4 × 3 = 72، والفارق 8. متوسط النواتج 28/3 أكبر من حاصل ضرب المتوسطين 4/3.

العكس والخلط يغيران الأزواج والنتيجة

أبقِ1,4,6 واقلب الثانية إلى 8,3,2. النواتج 8,12,12 مجموعها 32؛ متوسطها 32/3 = 96/9، بينما Q ما زال 143/9 لأن مجموعي القائمتين لم يتغيرا. الفارق −47/9؛ حدود فروق المواضع الآن −15,−30,−2.

عند اختلاف الاتجاه، كل حاصل ضرب فروق غير موجب؛ لذا ينعكس اتجاه المقارنة إلى P ≤ Q. هذا الاستنتاج من الهوية لا يحتاج افتراض استقلال أو توزيع احتمالي. لا نسميه حساب احتمال الابتعاد عن المتوسط.

خذ ترتيبًا ثالثًا للقائمة الثانية: 3,8,2. النواتج 3,32,12 مجموعها 47؛ نجد D = 3 × 47 − 11 × 13 = −2، والفارق −2/9. حدود الأزواج 15,−5,−12 ليست كلها بالإشارة نفسها. زيادة الزوج الأول لا تكفي لإعطاء حكم على المجموع.

ترتيب 3,8,2 مستقلاً إلى 2,3,8 يحول المجموع 47 إلى 62؛ لكنه يغير الأزواج المعطاة. إذا كان كل صف يمثل سجلًا، فانقل الزوج كاملًا عند تغيير ترتيب الصفوف. تبادل الصفوف كاملة يحفظ النواتج؛ ترتيب عمود منفردًا قد يجيب عن مسألة أخرى.

المساواة تحتاج فحص جميع فروق الأزواج

إذا كانت القائمة الأولى 4,4,4 والثانية 3,8,2، فكل فرق في الأولى صفر حتى مع عدم ترتيب الثانية. مجموع النواتج 52، و D = 3 × 52 − 12 × 13 = 0. بالفعل P = Q = 52/3؛ ثبات إحدى القائمتين يفسر المساواة.

للقائمتين المرتبتين في الاتجاه نفسه، إذا كانت كلتاهما غير ثابتة فالقيمتان الطرفيتان تختلفان في كل قائمة. حاصل ضرب فرقَي الطرفين موجب، وباقي الحدود غير سالبة؛ لذا D موجب. وبذلك المساواة تكافئ ثبات إحدى القائمتين ضمن هذا الشرط.

تكرار بعض القيم وحده لا يكفي: 1,1,6 و 2,2,8 قائمتان تصاعديتان فيهما تكرار، لكن مجموع النواتج 52 وحاصل ضرب المجموعين 96. نجد D = 3 × 52 − 8 × 12 = 60؛ الفارق 60/9 = 20/3 موجب. زوج الموضعين الأول والثاني يعطي صفرًا، ولا يصفر بقية الأزواج.

للموضع الواحد، مثل 2 و −3، العمليتان تعطيان −6، ومجموع فروق الأزواج فارغ ويساوي صفرًا. لا نستخدم n=0؛ المتوسط يتطلب قائمة غير خالية. راجع الطول والاقتران والترتيب والقسمة قبل تحويل حد المقارنة إلى قيمة دقيقة.