طريقة جاكوبي: هل زيادة الخطأ مرة تعني فشل التقارب؟

التحديث المتزامن

نفترض نظامًا حقيقيًا مربّعًا بقطر غير صفري، ونكتب A=D+E، حيث D قطرية. عندئذ x⁽ᵏ⁺¹⁾=−D⁻¹Ex⁽ᵏ⁾+D⁻¹b. [1]

نحفظ القديم x⁽ᵏ⁾ ونحسب الجديد x⁽ᵏ⁺¹⁾ كاملًا قبل استبداله. [2]

في المثال x−2y=−1 و−0.1x+y=0.9، لذلك x الجديد=−1+2y القديم، وy الجديد=0.9+0.1x القديم. هنا D=I وB=[[0,2],[0.1,0]].

خطأ يتزايد ويتناقص

بالتعويض نجد الحل الحقيقي(1,1): 1−2=−1 و−0.1+1=0.9. نبدأ من(0,0). الدورة الأولى(−1,0.9)، ثم الثانية(−1+2×0.9,0.9+0.1×(−1))=(0.8,0.8).

الدورة الثالثة(−1+2×0.8,0.9+0.1×0.8)=(0.6,0.98)، والرابعة(0.96,0.96). الخامسة(0.92,0.996)، والسادسة(0.992,0.992).

نعرّف e⁽ᵏ⁾=x⁽ᵏ⁾−x*. معيار اللانهاية أكبر قيمة مطلقة للمركبات. [3] في الدورة0 يكون e=(-1,-1)، ومعياره1؛ في الدورة1 يصبح(-2,-0.1)، ومعياره2.

بعد ذلك مقادير الخطأ0.2، ثم0.4، ثم0.04، ثم0.08، ثم0.008. قد تتضاعف القيمة بين دورة زوجية والتي تليها، مع أن السلسلة كلها تقترب من الصفر. الأعداد هنا حسابات مفترضة دقيقة.

برهان لكل بداية

الخطأ يحقق e⁽ᵏ⁺¹⁾=Be⁽ᵏ⁾. التقارب من كل بداية يكافئ ρ(B)<1، وρ=max|λ|؛ أما ‖B‖<1 فشرط كافٍ، لا لازمًا في معيار معين. [1]

معيار المصفوفة اللانهائي هو أكبر مجموع مطلق لصف. [3] لمصفوفتنا صفان مجموعاهما2 و0.1، فيكون ‖B‖∞=2. هذا الاختبار وحده لا يثبت فشل التكرار.

نضرب مباشرة: B²=[[0×0+2×0.1,0],[0,0.1×2+0×0]]=[[0.2,0],[0,0.2]]=0.2I. لذا e⁽²ᵐ⁾=0.2ᵐe⁽⁰⁾، وe⁽²ᵐ⁺¹⁾=0.2ᵐBe⁽⁰⁾، لكل عدد صحيح m≥0.

الجزءان يتجهان إلى الصفر لأن0.2ᵐ→0، وBe⁽⁰⁾ متجه ثابت مهما اخترنا البداية. إذن جميع الدورات تتقارب، لا الزوجية وحدها. كما أن ‖e⁽²ᵐ⁺¹⁾‖∞≤2×0.2ᵐ‖e⁽⁰⁾‖∞.

ونجد det(tI−B)=t²−0.2، فتكون القيمتان الذاتيتان ±√0.2 ونصف القطر الطيفي√0.2<1. يتفق هذا مع برهان القوتين؛ ليس مطلوبًا أن يكون معيار كل خطوة أقل من1.

متى تتغير الطريقة؟

من(0,0)، استعمال x الجديد=−1 يعطي y=0.8 بدل0.9. استعمال أحدث قيمة هو غاوس–سيدل، لا جاكوبي. [1][2]

وللمقارنة اختر Aₛ=[[1,−2],[−s,1]] وbₛ=(−1,1−s). يبقى الحل(1,1)، لكن مصفوفة التكرار Bₛ=[[0,2],[s,0]] تحقق Bₛ²=2sI.

عند s=1/10 نحصل على مثالنا المتقارب. أما عند s=1، فالمحدد det(A₁)=−1 غير صفري، بينما e⁽²ᵐ⁾=2ᵐe⁽⁰⁾. من البداية(0,0) يكون e⁽⁰⁾=(−1,−1)، فينمو الخطأ الزوجي بدل أن يختفي.

البداية المطابقة للحل تبقى ثابتة؛ المطلوب تقارب كل بداية. [1]

احفظ القديم واحسب الجديد كاملًا؛ عدد الدورات وحده لا يثبت التقارب. [1][2]