لوغاريتم المصفوفة: مثال محسوب وشروط الوجود

احسب المثال بالأس

الأس المصفوفي e^X هو I+X+X²/2!+X³/3!+…، باستعمال ضرب المصفوفات، لا رفع كل عنصر منفردًا. [3] ويرمز I هنا إلى مصفوفة الوحدة2×2.

خذ A=[[2,6],[0,2]]؛ كل مجموعة داخلية صف. ضع N=A−2I=[[0,6],[0,0]]. الضرب المباشر يعطي N²=0، لذا K=N/2=[[0,3],[0,0]] يحقق K²=0 أيضًا.

اختر X=(ln2)I+K=[[ln2,3],[0,ln2]]. بما أن المصفوفة القياسية تتبادل الضرب مع K، فإن e^X=2e^K=2(I+K)=A. [3] انتهت متسلسلة e^K عند الحد الخطي لأن K²=0.

هنا العنصر العلوي الأيمن3، وليس ln6 الذي يساوي تقريبًا1.792. أما العنصر السفلي الأيسر0 فبقي صفرًا؛ لم نحتج إلى ln0. لذلك يجب التمييز بين العمليتين.

في MATLAB، تطبق log اللوغاريتم على العناصر، وتحسب logm اللوغاريتم المصفوفي. [2] المثال هنا برهان يدوي.

الوجود والفرع الرئيسي

لكل X، معكوس e^X هو e^(−X). [3] لذلك لا يمكن أن يساوي الأس المصفوفي مصفوفة منفردة. مثلًا C=diag(2,0) لا تقبل لوغاريتمًا؛ إذ يرسل C المتجه(0,1) إلى الصفر.

يوجد اللوغاريتم الرئيسي إذا غابت القيم الذاتية الحقيقية غير الموجبة، ومنها الصفر. وهو الوحيد الذي تحقق قيمه الذاتية −π<Im(λ)<π دون الطرفين. [1][2]

في مثال A، معادلة القيم الذاتية(λ−2)²=0، فتتحقق الشروط. ولـX المحسوبة قيمتان ذاتيتان تساويان ln2؛ جزؤهما التخيلي0 داخل الفترة. إذن X هي اللوغاريتم الرئيسي، وليس مجرد حل آخر.

المصفوفة X′=X+2πiI تحقق e^X′=A أيضًا، لكن قيمها الذاتية ln2+2πi خارج الفترة؛ فلا تكون رئيسية. هنا i²=−1. [1][3]

قيمة سالبة ولوغاريتم حقيقي

قد يوجد لوغاريتم حقيقي مع قيم ذاتية سالبة، دون فرع رئيسي. [1][2] مثالنا −I₂.

ضع J=[[0,−2],[1/2,0]]. نجد J²=−I وJ³=−J وJ⁴=I. بفصل الحدود الزوجية والفردية لمتسلسلة e^(tJ)، نحصل على e^(tJ)=cos(t)I+sin(t)J لكل t حقيقي.

عند t=π، يكون الناتج−I. لذلك πJ=[[0,−2π],[π/2,0]] لوغاريتم حقيقي للمصفوفة−I₂. وعند أي t=(2k+1)π، حيث k عدد صحيح، نحصل على−I كذلك؛ فلدينا حلول حقيقية كثيرة.

قيمتا J الذاتيتان±i، لأن معادلتها λ²+1=0. لذا قيمتا πJ هما±πi، على طرفي الفترة المستبعدَين. كما أن قيمتي−I₂ تساويان−1؛ فلا يتحقق شرط الفرع الرئيسي.

ليس J في هذا المثال مصفوفة دوران متعامدة: JᵀJ=diag(1/4,4). هويّة الأس جاءت من J²=−I؛ لا من افتراض أن كل مصفوفة تحققها تحفظ الأطوال.

لماذا لا يكفي المحدد الموجب؟

خذ B=diag(−2,−3). محددها(−2)(−3)=6، وهي قابلة للعكس. سنثبت مع ذلك أن معادلة e^Y=B لا تقبل مصفوفة Y حقيقية.

المصفوفة Y تتبادل الضرب مع كل قوة من قواها، ومن ثم مع e^Y وفق المتسلسلة المتقاربة. لذلك يلزم YB=BY. اكتب Y=[[a,b],[c,d]]. نحسب YB=[[−2a,−3b],[−2c,−3d]]، وBY=[[−2a,−2b],[−3c,−3d]].

مساواة العنصرين خارج القطر تعطي b=0 وc=0. لو كانت Y حقيقية، لكانت قطرية بأس حقيقي e^Y=diag(e^a,e^d). العددان e^a وe^d موجبان، فلا يساويان−2 و−3. هذا هو التناقض.

أما Z=diag(ln2+iπ,ln3+iπ) فمصفوفة مركبة تحقق e^Z=diag(−2,−3)=B، لأن e^(ln2+iπ)=−2 وe^(ln3+iπ)=−3. إذن غياب الحل الحقيقي لا يعني غياب الحل المركب.

قارن الأمثلة دون خلط الشروط: C المنفردة لا تقبل أي لوغاريتم؛ B تقبل مركبًا ولا تقبل حقيقيًا؛ −I₂ تقبل حقيقيًا ولا تقبل رئيسيًا؛ وA تقبل لوغاريتمًا رئيسيًا حقيقيًا. هذه نتائج الأمثلة المحسوبة، لا اختبار شامل لكل المصفوفات.