مبرهنة بابوس: ثلاثة تقاطعات على مستقيم واحد

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة بابوس على أن ثلاث نقاط A و B و C على مستقيم، وثلاث نقاط D و E و F على مستقيم آخر، تعطي التقاطعات X=AE∩BD و Y=AF∩CD و Z=BF∩CE على مستقيم واحد. [1] نستخدم هنا بناءً بنقاط مختلفة وتقاطعات موجودة ومنتهية، ثم نتحقق بالإحداثيات ونختبر شرط وقوع المجموعة الثانية على مستقيم.

• ابدأ بمجموعتين مستقيمتين: الأولى على y=0 والثانية على y=6. النقاط الست مختلفة، وموازاة المستقيمين الأساسيين لا تمنع نجاح هذا المثال؛ المهم أيضًا وجود التقاطعات المطلوبة.
• الأزواج المحددة هي AE مع BD، و AF مع CD، و BF مع CE. حل معادلتي كل زوج يعطي X=(14/5,12/5)، Y=(65/11,30/11)، Z=(17/2,3)؛ تبديل الوصلات يغير البناء.
• التعويض في 2x−19y+40=0 يعطي صفرًا للنقاط الثلاث. مثلًا عند Z نجد 17−57+40=0. ميل هذا المستقيم 2/19، وهو يختلف عن ميل الوصلات الست.
• إذا حركنا E إلى (e,6)، بقيت التقاطعات مستقيمة ضمن الأسرة المحسوبة. معادلة مستقيمها (58−10e)x+(7e+65)y+40(e−13)=0؛ تثبت متطابقات البسوط النتيجة لهذه الأسرة، ولا تشكل برهانًا لكل بناء عام.
• عند نقل F إلى F′=(13,9)، تبقى X كما هي، لكن Y′=(260/53,180/53) و Z′=(8,4). مستقيم X و Y′ هو 44x−93y+100=0؛ التعويض بـ Z′ يعطي 80، ومساحة مثلثها 48/53، فتفشل الاستقامة.
• عند e=−3 يصبح زوج AE و BD متوازيًا، وعند e=19 يتوازى BF و CE. وعند e=−65/7 يكون مستقيم التقاطعات رأسيًا x=65/11؛ لذلك صورة المعادلة العامة أنسب من فرض ميل عددي في كل حالة.

حدد المجموعتين وأزواج التقاطع أولًا

تبدأ مبرهنة بابوس بمجموعتين، كل منهما ثلاث نقاط على مستقيم. نصل نقاط المجموعتين بالأزواج AE و BD، ثم AF و CD، ثم BF و CE؛ التقاطعات الثلاثة الناتجة مستقيمة. [1] الكلام عن مستقيمات الوصل، بما فيها امتداداتها، وليس عن تقاطع القطع القصيرة فقط.

في اختيارنا A=(0,0)، B=(4,0)، C=(10,0)، تكون المجموعة الأولى أفقية على y=0. أما D=(1,6)، E=(7,6)، F=(13,6) فتقع على y=6. المستقيمان الأساسيان مختلفان ومتوازيان؛ الوصلات الست التي سنستخدمها ليست كلها متوازية، ولذلك توجد تقاطعاتها الثلاثة المطلوبة.

حرفا اسم المستقيم يحددان النقطتين اللتين يمر بهما، لكن المستقيم يمتد في الاتجاهين بلا نهايتين. سنرسم أجزاء مناسبة منه لبيان البناء. لا نستبدل مثلًا AE∩BD بتقاطع AD و BE؛ مجرد وصل النقاط الست بطرق أخرى لا يضمن الحساب نفسه.

هذا الاختيار يسمح بفحص كل خطوة من معادلتين خطيتين. نحتفظ بالكسور بدل تقريب الإحداثيات، لأن الاختلافات الصغيرة بين ارتفاعات التقاطعات قد يصعب تمييزها في الصورة. وصحة المثال لا تعتمد على أن النقاط الثلاث تبدو مصطفة بالعين.

حل الأزواج الستة للحصول على ثلاث نقاط

يمر AE بالأصل وبالنقطة (7,6)، لذلك معادلته y=6x/7. أما BD فيمر بـ (4,0) و (1,6)، فميله −2 ومعادلته y=−2x+8. نساوي الطرفين: 6x/7=−2x+8. بعد الضرب في 7 نجد 20x=56؛ إذن X=(14/5,12/5).

المستقيم AF هو y=6x/13، والمستقيم CD هو y=−2x/3+20/3. مساواة القيمتين وضرب المعادلة في 39 يعطي 18x=−26x+260، ومنه 44x=260. بالتعويض تكون Y=(65/11,30/11). النقطة محسوبة من AF و CD، لا من AE و BD.

يمر BF بالنقطتين (4,0) و (13,6)، فتكون معادلته y=2x/3−8/3. والمستقيم CE هو y=−2x+20. المساواة تعطي 2x−8=−6x+60، أي 8x=68. لذلك Z=(17/2,3).

لتراجع X في المستقيم الثاني، احسب −2×14/5+8=12/5. وعند Y تعطي معادلة CD القيمة −2×65/33+20/3=30/11. وعند Z تعطي CE القيمة −2×17/2+20=3. هكذا يقع كل تقاطع على المستقيمين المحددين له؛ ولم نفترض استقامتها أثناء الحل.

استخرج مستقيم التقاطعات وافحص النقطة الثالثة

بين X و Y، فرق الإحداثيين الأفقيين 171/55، وفرق الرأسيين 18/55. الميل إذن (18/55)/(171/55)=2/19. صورة النقطة والميل y−12/5=(2/19)(x−14/5) تتحول إلى 2x−19y+40=0.

عند X يكون الطرف الأيسر 28/5−228/5+40=0. وعند Y يكون 130/11−570/11+40=0. وعند Z يكون 17−57+40=0. يبين العمود الأخير في الجدول بواقي هذه المعادلة، لا إحداثيات جديدة ولا قياسات مأخوذة من الرسم.

النقاط الثلاث مختلفة، فـ X و Y وحدهما يحددان مستقيمًا، ثم يؤكد التعويض أن Z عليه أيضًا. معادلة المستقيم تساعد حتى لو كان عرضه في الصورة قصيرًا أو كانت النقاط على امتدادات وصلات البناء.

ويمكن التعبير عن الفحص بمحدد متجهي XY و XZ: يكون صفرًا في المثال الصحيح. إذا كان المحدد غير صفر، صنعت النقاط مثلثًا ذا مساحة موجبة؛ سنستخدم هذا الاختبار بعد تحريك F. هذه طريقة تحقق حسابية، وليست شرطًا إضافيًا نضعه في بداية البناء.

حرك نقطة واحدة مع المحافظة على مستقيمها الأساسي

نبقي A و B و C و D و F كما هي، ونجعل E=(e,6). تبقى المجموعة الثانية على y=6. حل الأزواج نفسها يعطي X=(4e/(e+3),24/(e+3))، و Y=(65/11,30/11)، و Z=((130−4e)/(19−e),36/(19−e)). لا تتغير Y لأن زوجها AF و CD لا يتضمن E.

تقع النقاط الثلاث على (58−10e)x+(7e+65)y+40(e−13)=0. عند e=7 تصبح المعاملات −12 و 114 و −240؛ القسمة على −6 تعيد 2x−19y+40=0. ضرب معادلة مستقيم كاملة بثابت غير صفري يحفظ نقاطه.

لإثبات صيغة الأسرة، عوض بإحداثيات X واضرب في e+3. يصبح البسط (58−10e)·4e+(7e+65)·24+40(e−13)(e+3). جمع الحدود يعطي صفرًا: حدود e² تتلاشى، وكذلك حدود e والثوابت. وهذا تعويض جبري لكل قيمة مسموحة، وليس فحصًا لقيمة 7 وحدها.

عند Y نضرب في 11 فنحصل على (58−10e)·65+(7e+65)·30+440(e−13)=0. وعند Z نضرب في 19−e؛ البسط مجموع ثلاثة حدود: (58−10e)(130−4e)، و (7e+65)·36، و 40(e−13)(19−e). يساوي المجموع صفرًا أيضًا بعد جمع حدود e² و e والثوابت.

هذا البرهان يخص الأسرة التي اخترناها بمستقيمين أفقيين ونقطة واحدة متحركة. صيغة المبرهنة العامة وردت في المصدر، أما هذه المتطابقات فلا نعرضها بوصفها برهانًا لكل وضع ممكن للمجموعتين. الحسابات الكسرية الإضافية تراجع التنفيذ، بينما المتطابقة هي التي تشمل جميع قيم e في مجال الأسرة.

اختبر فقدان شرط المجموعة الثانية المستقيمة

نرجع إلى E=(7,6)، ثم نرفع F وحدها إلى F′=(13,9). لا تزال A و B و C مستقيمة، وتظل D و E على y=6، لكن F′ ليست على هذا المستقيم. زوج AE و BD لم يتغير، ولذلك تبقى X=(14/5,12/5).

تتغير AF إلى AF′ بمعادلة y=9x/13. مع CD نجد Y′=(260/53,180/53). ويتغير BF إلى BF′ بمعادلة y=x−4؛ مع CE نجد Z′=(8,4). نستخدم الوصلات نفسها في معناها، لكن بنقطة F′ الجديدة.

المستقيم المار بـ X و Y′ هو 44x−93y+100=0. التعويض بإحداثيات X يعطي 616/5−1116/5+100=0، وبـ Y′ يعطي 11440/53−16740/53+100=0. أما Z′ فتعطي 44×8−93×4+100=80، فتقع خارج المستقيم.

محدد متجهي XY′ و XZ′ يساوي −96/53، ومساحة مثلث XY′Z′ هي نصف قيمته المطلقة، أي 48/53. يعرض جدول المقارنة المساحة، فتدل القيمة الموجبة على فقد الاستقامة. الإشارة السالبة للمحدد تصف اتجاه ترتيب الرؤوس ولا تجعل المساحة سالبة.

هذا المثال يوضح أن فقد شرط وقوع D و E و F على مستقيم قد يؤدي إلى فشل النتيجة. لا يثبت عكس المبرهنة، ولا يقول إن أي تحريك مخالف سيعطي دائمًا ثلاث نقاط غير مستقيمة. نكتفي بالوضع المحسوب الذي تغير فيه الشرط وفشلت النتيجة.

راجع التقاطعات المتوازية والمستقيم الرأسي والتكبير

نستبعد e=−3 من الأسرة: تصبح AE هي y=−2x، بينما BD هي y=−2x+8. الميلان متساويان والمقطعان مختلفان؛ فلا توجد نقطة X منتهية. وعند e=19 تصبح CE هي y=2x/3−20/3، بينما BF هي y=2x/3−8/3؛ فلا توجد Z منتهية.

كذلك نستبعد e=1 و e=13 كي تكون E مختلفة عن D و F في البناء المختار. تتعامل صيغ أخرى مع حالات منحلّة أو تقاطعات عند اللانهاية، لكن المقال يحسب نقاطًا مختلفة وتقاطعات في المستوى الإحداثي العادي، ولا يستعمل تلك التوسعات.

عند e=10 تصبح CE رأسية بمعادلة x=10. لا يجوز حساب ميلها بقسمة على صفر، لكن صيغ التقاطعات العامة ما زالت صالحة: X=(40/13,24/13)، و Z=(10,4)، وتحققان مع Y المعادلة −42x+135y−120=0. وجود وصلة رأسية لا يعني أن البناء كله فشل.

وعند e=−65/7 يكون مستقيم التقاطعات نفسه رأسيًا x=65/11. النقاط هي X=(65/11,−42/11)، Y=(65/11,30/11)، Z=(65/11,14/11). بعضها على امتداد قطعة الوصل؛ المبرهنة هنا تتعلق بالمستقيمات. استعمال Ax+By+C=0 يسمح بالرأسي والأفقي دون افتراض ميل عددي في كل حالة.

إذا كبرنا المثال الأصلي بعامل 2، تصبح X=(28/5,24/5)، Y=(130/11,60/11)، Z=(17,6)، والمستقيمان الأساسيان y=0 و y=12. معادلة مستقيم التقاطعات 2x−19y+80=0. ثابت المعادلة يتضاعف بينما الميل 2/19 يبقى كما هو.

قبل إعلان الاستقامة، راجع مجموعتي النقاط، وأزواج الوصل، ووجود التقاطعات المختلفة. حل كل زوج بدقة ثم افحص معادلة واحدة أو محددًا. وإذا تغير شرط البناء، أعد الحساب؛ لا يكفي أن تحتفظ الصورة بالشكل السداسي العام.