مبرهنة شتورم: عد الجذور الحقيقية داخل الفترة

شروط الفترة وما الذي نعده

نستخدم هنا صيغة المبرهنة لكثير حدود بمعاملات حقيقية وجذور حقيقية بسيطة، أي غير مكررة، معa<b وf(a)≠0 وf(b)≠0. النتيجة تخص الفترة المفتوحة(a,b). [1]

نقارنV للطرفين باستخدام المتتالية كاملة. [1]

نختار f(x)=x³−12x+1. مشتقتها3x²−12=3(x−2)(x+2)، فتصفّر عند2 و−2 فقط. لكنf(2)=−15 وf(−2)=17؛ لا جذر مشترك بينf ومشتقتها، فلا جذر مكرر في المثال.

سنستعمل الطرفين−4 و4 ونقاطًا بينهما. قيمf عند−4،−3،0،1،2،3،4 هي−15،10،1،−10،−15،−8،17؛ لا واحدة منها صفر، فتصلح أطرافًا لهذا التطبيق.

المطلوب عدد الجذور داخل الفترة، ثم تضييق فترات كل جذر. لا نفترض أن معرفة العدد تكشف القيمة الدقيقة للجذر.

ابن المتتالية بسالب البواقي

ابدأ بـS₀=f وS₁=f′. اقسمS₀ علىS₁، وخذ سالب الباقيS₂؛ ثم اقسمS₁ علىS₂ وخذ سالب الباقيS₃، وتابع. [2]

في المثال S₀=x³−12x+1 وS₁=3x²−12. نكتبS₀=(x/3)S₁+(−8x+1)، فيكونS₂=8x−1، بعد تغيير إشارة الباقي كله.

القسمة التالية تعطيS₁=(3x/8+3/64)S₂−765/64. إذنS₃=765/64 موجب، وليس−765/64.

نراجع النشر: (3x/8+3/64)(8x−1)=3x²−3/64؛ وبعد طرح765/64 نحصل على3x²−768/64=3x²−12. الهوية تؤكد الباقي بإشارته.

وصلنا في هذا المثال إلى ثابت غير صفري. قسمةS₂ عليه تعطي باقيًا صفرًا، فننهي السلسلة عندS₃ دون إضافة كثير حدود صفري. درجات العناصر3،2،1،0.

التمييز بين الباقي وسالبه جوهر البناء. احتفظ بهوية كل قسمة، ثم افحصها بالنشر؛ خطأ إشارة واحد يغيّر قوائم العد اللاحقة.

اقرأ تغيرات الإشارة بالترتيب

V(x) يعد انتقالًا من الموجب إلى السالب أو العكس بين القيم المتجاورة بعد حذف الأصفار. لا يعد عدد القيم السالبة، ولا يغيّر ترتيب المتتالية. [3]

عند−4 تكون القيم−15،36،−33،765/64، وإشاراتها−،+،−،+. الانتقالات ثلاثة، إذنV(−4)=3. عند−3 تكون10،15،−25،765/64، فتكون+،+،−،+ وفيها انتقالان.

عند0 نحصل على1،−12،−1،765/64: +،−،−،+ وعدها2. وعند1 نحصل على−10،−9،7،765/64: −،−،+،+ وعدها1.

عند2 تظهر−15،0،15،765/64. نحذف الصفر، فتتبقى−،+،+ وفيها انتقال واحد. صفر المشتقة هنا لم يكن صفرf؛ f(2)=−15.

عند3 تكون−8،15،23،765/64، وعدها1. وعند4 تكون17،36،31،765/64، كلها موجبة، وعدها0.

إذنV(−4)−V(4)=3−0=3 جذور داخل(−4,4). والفروق على الفترات(−4,−3)،(0,1)،(3,4) تساوي1 لكل منها؛ وعلى(1,3) تساوي1−1=0. [1]

ضيّق الفترة دون تخمين جذر

نفحصx=1/8. نجدS₀=1/512−12/8+1=−255/512، وS₁=3/64−12=−765/64، وS₂=8/8−1=0، وS₃=765/64.

بعد حذف القيمة الصفرية تصبح الإشارات−،−،+، فيكونV(1/8)=1. ما زال هذا طرفًا مسموحًا؛ قيمةf عنده−255/512 غير صفرية.

الفارق2−1=1 يثبت جذرًا في(0,1/8). [1] الحد1/8 ليس جذرًا، لأنf عنده غير صفرية.

استعمل الكسور الدقيقة حيث يمكن. هنا يكفي بسط−255 لإثبات إشارة−255/512 لأن المقام موجب؛ التقريب إلى الصفر كان سيمحو علامة لازمة للعد.

في هذا المثال لا نحتاج صيغة حل التكعيبية. لدينا سلسلة قسمة وجدول إشارات وفروق أعداد، وكل جذر معزول في فترة لا تحتوي غيره.

راجع ثلاثة أشياء قبل الحكم: سالب الباقي، وحذف القيم الصفرية أثناء العد، وأن الطرفين ليسا جذرين لـf. تطبيقات الجذور المكررة أو إدخال جذر عند طرف تحتاج صيغة مناسبة أخرى، ولا نستنتجها من هذه الحالة.