مبرهنة نابليون: مراكز ثلاثة مثلثات ترسم مثلثًا متساوي الأضلاع

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة نابليون على أن مراكز المثلثات المتساوية الأضلاع المبنية للخارج على أضلاع أي مثلث تشكل مثلثًا متساوي الأضلاع. [1] المقصود مراكز المثلثات الثلاثة، لا رؤوسها الإضافية ولا منتصفات أضلاع المثلث الأصلي. في المثال الآتي نختبر النتيجة بالإحداثيات، ثم نفسرها بدوران زاويته 60 درجة.

• المثلث الأصلي A=(0,0)، B=(6,0)، C=(2,2√3) مرتب بعكس عقارب الساعة. مربعات أطوال أضلاعه 36 و 28 و 16، فلا يكون متساوي الأضلاع. نختار جهة الخارج نفسها على الأضلاع الثلاثة.
• الرؤوس الإضافية للمثلثات هي E₁=(3,−3√3)، E₂=(7,3√3)، E₃=(−2,2√3). متوسط رؤوس كل مثلث يعطي L=(3,−√3)، M=(5,5√3/3)، N=(0,4√3/3).
• متجه LM=(2,8√3/3)،ومتجه MN=(−5,−√3/3)،ومتجه NL=(3,−7√3/3). مربع طول كل منها 76/3، لذلك تتساوى الأضلاع الثلاثة دون حاجة إلى قياس الصورة.
• إذا عرفنا R=M−L و T=N−L، فإن T=R/2+(√3/2)JR، حيث J يدور المتجه إلى اليسار بزاوية قائمة. هذه صيغة دوران R بزاوية 60 درجة، وتحفظ طوله وتجعل طول T−R مساويًا له.
• عكس مثلث BC وحده يحرك مركزه إلى M′=(3,√3/3). تصبح مربعات أطوال LM′ و M′N و NL هي 16/3 و 12 و 76/3؛ تبقى المثلثات المبنية متساوية الأضلاع، لكن مثلث مراكزها لا يكون كذلك.
• عكس الجهات الثلاث معًا يعطي في مثالنا مربعات أطوال 4/3. أما إذا كان المثلث الأصلي متساوي الأضلاع فقد تتطابق المراكز في العكس الداخلي. ومتوسط المراكز في البناء الموحد يساوي متوسط رؤوس ABC.

ابدأ بمثلث غير متساوي الأضلاع

اختر A=(0,0)، B=(6,0)، C=(2,2√3). ارتفاع C عن AB موجب، ومسار A ثم B ثم C بعكس عقارب الساعة. مربع طول AB يساوي 36، ومربع طول BC يساوي 28، ومربع طول CA يساوي 16؛ ثلاثة أطوال مختلفة لا تمنع البناء التالي.

نبني مثلثًا متساوي الأضلاع على كل ضلع من ABC. الضلع الأصلي هو قاعدة المثلث الجديد، ونختار الرأس الإضافي في الجهة الخارجية. لذلك يقع رأس المثلث المبني على AB أسفل المحور الأفقي. تساوي الأضلاع مطلوب في المثلثات الجديدة، ولا يشترط في ABC.

إذا كان a و b طرفي ضلع موجه، فإن منتصفه (a+b)/2. عرف J(x,y)=(−y,x)، وهو دوران إلى اليسار بزاوية قائمة. الرأس الإضافي الخارجي هو E_ab=(a+b)/2−(√3/2)J(b−a). يستعمل الحد الأخير متجهًا عموديًا طوله√3/2 من طول الضلع.

لماذا يحدد ذلك مثلثًا متساوي الأضلاع؟ من المنتصف إلى أي طرف مسافة تساوي نصف الضلع، والمتجه العمودي طوله√3/2 من الضلع. مربع المسافة من الرأس الجديد إلى الطرف يساوي مجموع 1/4 و 3/4 من مربع الضلع، أي مربع الضلع كله.

في مسارنا يقع الخارج إلى يمين الضلع الموجه، لذلك استعملنا الإشارة السالبة أمام J. لا تغير الجهة من ضلع إلى آخر لمجرد جعل الرسم أقل ازدحامًا؛ هذا التغيير يؤثر في النتيجة التي سنختبرها.

المركز ليس الرأس الإضافي ولا منتصف القاعدة

على AB يكون المنتصف (3,0)، ويعطي الدوران الخارجي الرأس E₁=(3,−3√3). متوسط الرؤوس A و B و E₁ هو L=(3,−√3). منتصف القاعدة (3,0) والرأس الجديد (3,−3√3) مختلفان عن L؛ يجب تحديد النقطة التي نصلها.

على BC يكون المنتصف (4,√3). متجه BC=(−4,2√3)، ولذلك −(√3/2)J(BC)=(3,2√3). الرأس الإضافي E₂=(7,3√3)، ومتوسط B و C و E₂ هو M=(5,5√3/3).

على CA يكون المنتصف (1,√3)، والمتجه الخارجي المضاف (−3,√3). إذن E₃=(−2,2√3)، ومتوسط C و A و E₃ هو N=(0,4√3/3). الجدول يجمع المراكز الثلاثة بالترتيب.

مركز المثلث المتساوي الأضلاع يقع على متوسطاته، ويكون متساوي البعد عن رؤوسه. في هذه الحسابات نحدده بمتوسط إحداثيات الرؤوس الثلاثة؛ وفحص المسافات يعطي مربع البعد عن كل رأس مساويًا لثلث مربع طول الضلع.

بالتعويض عن الرأس الجديد في متوسط الرؤوس، نحصل على صيغة المركز N_ab=(a+b)/2−(√3/6)J(b−a). لاحظ أن معامل المركز√3/6، بينما معامل الرأس الإضافي√3/2. استعمال المعامل الأكبر مكان الأصغر يصل رؤوسًا جديدة بدل المراكز المطلوبة.

اختبر الأضلاع الثلاثة بالحساب الدقيق

من L=(3,−√3) إلى M=(5,5√3/3)، نجد LM=(2,8√3/3). مربع طوله 4+64/3=76/3. ومن M إلى N=(0,4√3/3)، نجد MN=(−5,−√3/3)، ومربع طوله 25+1/3=76/3.

ومن N إلى L، يكون NL=(3,−7√3/3). مربع طوله 9+49/3=76/3. إذن الأضلاع الثلاثة متساوية، وطول كل منها√(76/3). لا يساوي الطول 76/3؛ هذه القيمة تخص مربعه.

للتأكد من أن الناتج مثلث حقيقي، يمكن حساب محدد LM و LN. بما أن LN=(−3,7√3/3)، فإن المحدد 38√3/3، وهو غير صفر. المراكز غير مستقيمة وغير متطابقة في هذا المثال، فلا نتعامل مع مثلث صفري المساحة.

توضح الصورة اختلاف أحجام المثلثات المبنية على أضلاع ABC، وفي الوقت نفسه تساوي أضلاع مثلث المراكز البنفسجي. الرسم بمقياس موحد للمحورين، لكن تساوي الأضلاع مثبت بالكسور والجذر، وليس بمقارنة طولين ظاهرين على الشاشة.

دوران بزاوية ستين درجة يفسر التساوي

نضع t=√3/6، ونعرف U=B−A و V=C−A. من صيغة المراكز نحصل على R=M−L=V/2−tJ(V−2U)، وعلى T=N−L=(V−U)/2+tJ(U+V). هذه معادلات متجهات، فالجمع والضرب العددي يجريان على الإحداثيين.

بما أن J²=−I و 3t²=1/4، فإن R/2+3tJR يساوي (V−U)/2+tJ(U+V). الجزء الذي لا يتضمن J يأتي من V/4+(V−2U)/4، والجزء المدور يأتي من −tJ(V−2U)/2+3tJV/2. يتطابق ذلك مع T.

إذن T=R/2+(√3/2)JR. هذه صيغة دوران بزاوية 60 درجة: معامل الاتجاه الأصلي 1/2، ومعامل الاتجاه العمودي√3/2. جمع مربعي المعاملين يعطي 1، فيحفظ الدوران الطول، ويكون الضرب الداخلي R·T مساويًا لنصف مربع طول R.

ينتج|T|²=|R|² و|T−R|²=|R|². هذه هي الأضلاع LN و LM و MN على الترتيب، فتثبت مساواتها. إذا كان R غير صفر، يعطي الدوران مثلثًا غير منحل؛ وإذا كان صفرًا فلا نستنتج زاوية بين متجهين صفريين.

البرهان يستعمل مركز كل مثلث واتجاهًا موحدًا للرؤوس الإضافية. صياغة مبرهنة نابليون للمثلثات الخارجية مستندة إلى المصدر [1]، أما الإحداثيات واختبارات الأطوال والاشتقاق المتجهي هنا فمبينة بصورة مستقلة، دون الاستناد إلى قياس رسم.

عكس مثلث واحد يحرك مركزًا واحدًا

نبقي المثلثين المبنيين على AB و CA كما هما، ونعكس جهة مثلث BC. الرأس الإضافي الجديد E₂′=(1,−√3)، ومتوسط B و C و E₂′ هو M′=(3,√3/3). يظل L و N في موضعيهما.

المثلث BC E₂′ ما زال متساوي الأضلاع: مربع طول كل ضلع 28. إذن الاختبار لا يخلط بين صحة المثلث الجديد وصحة النتيجة عن مراكز المثلثات الثلاثة. التغيير الوحيد هو جهة بناء مثلث BC.

متجه LM′=(0,4√3/3)، فيكون مربع طوله 16/3. ومتجه M′N=(−3,√3)، فيكون مربع طوله 12. أما NL فبقي مربع طوله 76/3. هذه القيم الثلاث مختلفة، لذلك مثلث LM′N غير متساوي الأضلاع.

في الصورة المقارنة بقيت النقطتان L و N ومثلثاهما ثابتتين. تحرك الرأس الجديد ومركز مثلث BC، وتغير ضلعان في مثلث المراكز بينما بقي NL كما هو. اختلاف النتيجة مرتبط باختلاف الجهة، لا باختلاف المقياس بين اللوحتين.

العكس الموحد والمركز المشترك والحالة المنحلة

إذا عكسنا الجهات الثلاث معًا، يكون معامل J في صيغة المركز موجبًا. يصبح اشتقاق الدوران T=R/2−(√3/2)JR، أي دورانًا بالزاوية نفسها في الاتجاه الآخر. في المثال نحصل على L=(3,√3)، M=(3,√3/3)، N=(2,2√3/3)، ومربعات الأطوال 4/3 كلها. الجدول يقارن مربعات الأطوال؛ في صف العكس المختلط نستخدم M′ بدل M.

اختيار الجهة الأخرى من كل ضلع لا يضمن احتواء المثلثات المبنية بالكامل داخل ABC؛ قد تتجاوز حدوده أو تتداخل. لذلك نميز العكس الموحد من الادعاء بأن كل منطقة مرسومة تقع داخل المثلث الأصلي.

عند جمع صيغ المراكز، تلغي المتجهات المدورة بعضها، لأن (B−A)+(C−B)+(A−C)=0. لذلك L+M+N=A+B+C. متوسط مراكز المثلثات الثلاثة هو متوسط رؤوس ABC نفسه، وفي مثالنا G=(8/3,2√3/3). تصح هذه الهوية لكل اتجاه موحد، ولا تلزم المثال المختلط.

إذا كان المثلث الأصلي متساوي الأضلاع، مثل A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3)، وأخذنا الجهات الداخلية الثلاث، تتطابق المراكز عند (3,√3). الأطوال الثلاثة صفر، فلا نصف الشكل الناتج بأنه مثلث ذو زوايا 60 درجة. يحتاج وصف المثلث الحقيقي إلى مراكز غير متطابقة.

التكبير بعامل 2 يضاعف الأطوال، فتصبح مربعات أطوال مثلث المراكز الخارجي 304/3. والإزاحة بمقدار (1,−2) تحرك الرؤوس والمراكز جميعًا وتحفظ المتجهات والأطوال. عند التطبيق راجع جهة البناء ومعامل المركز، ثم احسب الأطوال الثلاثة وتحقق من عدم انهيار المراكز.