متباينة بسل: مربعات الإسقاطات والجزء المتبقي

الخلاصة السريعة

في المثال، مجموع مربعات المعاملين 9+16=25، والجزء المتبقي r=(0,0,12) مربع طوله 144. لذلك 25+144=169. تختفي البقية عندما يكون المتجه داخل المستوى xy. تغيير طول اتجاهي القياس أو إسقاط شرط التعامد قد يفشل الصيغة غير الموزونة.

• لأسرة منتهية من متجهات متعامدة طول كل منها 1، تنص بسل علىΣ(x·eᵢ)² ≤ ‖x‖² للمتجهات الحقيقية. [1] الرمز· للضرب النقطي و ‖x‖ للطول. المتعامدة ذات طول الوحدة تسمى أسرة متعامدة معيارية.
• اختر e=(3/5,4/5,0) و f=(−4/5,3/5,0). مربع طول كل منهما 1 وضربهما النقطي صفر. عند x=(5,0,12)، المعاملان 3 و −4، والإسقاط p=3e−4f=(5,0,0).
• الباقي x−p=(0,0,12)، ومربع طوله 144. للمتجه (5,0,0) تصبح البقية صفرًا والمقارنة 25=25. وللمتجه (0,0,12)، المعاملان صفر ولا يلتقط الاتجاهان جزءًا منه.
• إذا استعملنا h=2e و k=3f، يبقى التعامد لكن مجموع مربعي الضربين 180 أكبر من 169. قسمة كل مربع على مربع طول اتجاهه تعيد 9+16=25. ومتجهَا وحدة غير متعامدين قد يعطيان 34 بدل 25 لمتجه داخل المستوى.
• أي مرشح q=ae+bf له مربع خطأ 144+(a−3)²+(b+4)² في المثال. أصغر قيمة 144 عند a=3 و b=−4. الاختيار a=b=1 يعطي 173، وهو أكبر من مربع خطأ المرشح الصفري 169.
• إضافة g=(0,0,1) تلتقط المعامل 12، فتكتمل 169 من 9 و 16 و 144. المساواة لمتجه واحد داخل المستوى لا تعني أن الاتجاهين وحدهما يكفيان لكل متجه في ثلاثة أبعاد. ندرس متجهات حقيقية منتهية، لا تقارب متسلسلات دوال.

اتجاهان مائلان لكن متعامدان وطولهما واحد

نحسب الضرب النقطي بضرب المركبات المتناظرة ثم جمعها. للمتجه e=(3/5,4/5,0)، مربع الطول 9/25+16/25=1. وللمتجه f=(−4/5,3/5,0)، مربع الطول 16/25+9/25=1. وضربهما النقطي −12/25+12/25=0، فيتحقق الشرطان.

مع x=(5,0,12)، نجد x·e=3 و x·f=−4. المركبة الثالثة لكل من e و f صفر، فلا تدخل 12 في هذين الضربين. المعامل السالب يحدد اتجاهًا معاكسًا لـ f، ولا يعني طولًا سالبًا. في المتباينة نربع المعاملين، فنحصل على 9 و 16.

مربع طول x هو 5²+0²+12²=169، وطوله 13. نقارن 25 بمربع الطول 169، ولا نقارن 25 بالطول 13. هذه إحداثيات تعليمية مجردة، وليست قياسات فيزيائية.

إعادة بناء الإسقاط تظهر الجزء المتبقي

نحسب 3e=(9/5,12/5,0) و −4f=(16/5,−12/5,0). بالجمع p=(5,0,0). اطرح p من x، فتعطي r=(0,0,12). الضربان r·e و r·f صفر، لأنهما لا يحويان مركبة ثالثة.

بالنسبة إلى أسرة متعامدة معيارية، مجموع الضربين في اتجاهاتهما يعطي الإسقاط p، والباقي r=x−p عمودي عليها. إذا S مجموع مربعات المعاملات، فإن ‖x‖²−S=‖r‖² ≥ 0، ومنه S ≤ ‖x‖². [1] هذا هو سبب اتجاه المتباينة.

في نموذجنا ‖p‖²=25 و ‖r‖²=144، ومجموعهما 169. يظهر الرسم الرئيسي مربعي المعاملين والبقية بمقياس واحد. طول الجزء الأخضر يمثل مربع الطول 144، ولا يمثل طول المتجه 12 على مقياس أطوال هندسية.

الرسم الداخلي يعرض المستوى xy فقط. السهمان 5e و 5f يكبران اتجاهي الوحدة بعامل 5 لسهولة الرؤية؛ ليس طول كل سهم مرسوم 1. وسهم p يقابل (5,0) في هذا المستوى. الباقي r عمودي على المستوى، لذلك كتبناه في بطاقة ولم نرسمه كأنه سهم داخله.

المساواة تتعلق بالبقية لا بعدد الاتجاهات وحده

إذا أخذنا x=(5,0,0) بالاتجاهين نفسيهما، تبقى المعاملات 3 و −4، ويصبح p=x و r=0. مجموع المربعين 25 يساوي مربع طول x وهو 25. المتجه داخل المستوى الذي يصفه الاتجاهان، فلا يوجد جزء مفقود.

أما x=(0,0,12)، فيعطي معاملين صفرًا. الإسقاط صفري والباقي هو المتجه كله، ومربع طوله 144. وللمتجه الصفري، كل المعاملات والبقية صفر، فتتحقق المساواة 0=0 أيضًا. الجدول يستخدم الاتجاهين نفسيهما في الحالات الأربع.

الاتجاهان لا يصفان كل الفضاء الثلاثي، لأن أي مزيج منهما له مركبة ثالثة صفر. إذا أضفنا g=(0,0,1) إلى النموذج الأصلي، فهو وحدة وعمودي على كليهما، ومعامله x·g=12. مجموع المربعات 9+16+144=169، ونستعيد x كاملًا.

التعامد وطول الوحدة شرطان منفصلان

اضرب e في 2 و f في 3، وسمّ الناتجين h و k. هما h=(6/5,8/5,0) و k=(−12/5,9/5,0)، وما زالا متعامدين. لكن مربعَي طولهما 4 و 9. الضربان x·h=6 و x·k=−12، ومجموع المربعين 36+144=180، وهو أكبر من 169.

للاتجاهات المتعامدة غير الصفرية، يمكن تطبيع كل اتجاه بقسمة مركباته على طوله. في هذا المثال، يعادل ذلك وزن مربع الضرب بقسمة على مربع طول الاتجاه: 36/4+144/9=9+16=25. لا نقسم على طول 2 أو 3 مرة واحدة؛ المربع يحتاج 4 أو 9.

إذا أردنا إعادة البناء مباشرة بالاتجاهين h و k، فالمعاملان 6/4=3/2 و −12/9=−4/3. نجد (3/2)h+(−4/3)k=(5,0,0). الضرب النقطي وحده ليس معامل هذا المزيج عندما يكون طول الاتجاه مختلفًا عن 1.

ولفحص شرط التعامد مستقلًا، خذ اتجاهي الوحدة u=(1,0,0) و e. ضربهما 3/5 لا يساوي صفرًا. مع y=(5,0,0)، الضربان 5 و 3، ومجموع مربعيهما 34 أكبر من مربع طول y وهو 25. طول الوحدة وحده لا يمنع احتساب أجزاء متداخلة.

المعاملان الصحيحان يعطيان أقرب متجه في المستوى

في المثال الأصلي، اختر أي عددين حقيقيين a و b، ثم q=ae+bf. مركبتاه الأفقيتان (3a−4b)/5 و (4a+3b)/5، والثالثة صفر. بالتوزيع في مربع المسافة إلى x، نجد ‖x−q‖²=144+(a−3)²+(b+4)².

كل مربع إضافي غير سالب. لذلك أصغر مربع خطأ 144، ويتحقق فقط عند a=3 و b=−4. ينتج حينها q=p=(5,0,0). هذا يفسر أن البقية هي أقصر مسافة إلى المستوى، وليس إلى نقطة تختارها فيه كيفما اتفق.

عند a=b=0، المرشح هو الصفر ومربع الخطأ 169. وعند a=b=1، نحصل على q=(−1/5,7/5,0)، ومربع الخطأ 144+4+25=173. إدخال مركبتين غير صفريتين لا يجعل المرشح أقرب تلقائيًا؛ يجب أن تكون المعاملات مناسبة.

الجدول يقارن مربعات الأخطاء، لا أطوالها. نحافظ على الشكل الدقيق دون جذور تقريبية. هوية المثال تبرهن الحد الأدنى لكل a و b، أما مراجعة قيم مختارة فوسيلة لفحص الحساب، ولا تحل محل هذه الهوية.

راجع الاتجاهات قبل تفسير مجموع المربعات

المساواة 25=25 للمتجه داخل المستوى لم تجعل الاتجاهين أسرة تغطي كل متجه ثلاثي. المتجه (0,0,12) يوضح ما يغيب عنهما. وإضافة g في المثال تزيل البقية، لأنها توفر الاتجاه الثالث الذي نحتاجه.

نعمل هنا بمتجهات حقيقية وبأسرة منتهية، وبالضرب النقطي الإقليدي. المرجع يتناول أيضًا الأسر غير المنتهية في فضاءات هيلبرت، لكننا لم نستنتج من أمثلة الإحداثيات حكمًا عن تقارب متسلسلة دوال أو اكتمالها. [1]

افحص طول كل اتجاه وتعـامده مع الآخرين، ثم احسب المعاملات والباقي. قارن مجموع مربعات المعاملات بمربع طول المتجه، وحدد هل البقية صفر. وإذا غيرت أطوال الاتجاهات، راجع التطبيع قبل إعادة استخدام الصيغة.