من الظواهر اليومية إلى اتساع الكون.
129 مقالًا
قانون مساحة وحجم الأسطوانة يحتاج تحديد الكمية المطلوبة: الحجم πr²h، والمساحة الجانبية 2πrh، والمساحة الكلية لأسطوانة مغلقة 2πr² + 2πrh. نعني هنا الأسطوانة الدائرية القائمة، حيث r نصف قطر القاعدة و h الارتفاع العمودي بين القاعدتين.
قانون مساحة القطاع الدائري بالدرجات هو A = (θ/360)πr². أما إذا كانت الزاوية θ بالراديان فالقانون A = θr²/2. اختر الصيغة وفق وحدة الزاوية؛ القطاع منطقة تحدها قطعتان من المركز إلى المحيط والقوس بينهما.
التحويل من كيلوغرام إلى باوند يتم بقسمة الكتلة بالكيلوغرام على 0.45359237، أو بضربها في نحو 2.20462262. الباوند المقصود هنا وحدة الكتلة الشائعة ورمزها lb؛ فالباوند الواحد يساوي 0.45359237 kg بالضبط وفق عامل NIST.
شرح الأسس النسبية يبدأ بقراءة الكسر في الأس: المقام يحدد رتبة الجذر، والبسط يحدد القوة. للأساس الموجب مثلًا a^(m/n)=(ⁿ√a)^m. لذلك الأس الكسري لا يعني قسمة الأساس على الكسر، بل كتابة علاقة بين قوة وجذر. وعند وجود صفر أو أساس سالب نحتاج فحص التعريف قبل الحساب.
حل المعادلات الأسية يعني إيجاد قيمة المتغير عندما يظهر في الأس. قد نعيد كتابة الطرفين بأساس مشترك، أو نعزل القوة ونأخذ لوغاريتمًا، أو نستبدل قوة متكررة بمتغير جديد. اختيار الطريق يبدأ بقراءة بنية المعادلة، ثم ينتهي بالتعويض في صورتها الأصلية.
تمارين على الدالة اللوغاريتمية تصبح أسهل إذا فصلت ثلاث مهام: تحديد المجال، وحساب قيمة الدالة، وحل معادلة فيها لوغاريتم. في جميع الأمثلة الحقيقية يجب أن يكون ما داخل اللوغاريتم موجبًا، وأن يكون الأساس موجبًا وغير 1. سنكتب هذا الشرط قبل العمليات حتى لا نقبل جوابًا يخالف المسألة الأصلية.
حل معادلتين بمجهولين يعني إيجاد زوج مرتب يحقق المعادلتين معًا. التعويض يكتب مجهولًا بدلالة الآخر، والحذف يجمع أو يطرح مضاعفات المعادلتين لإزالة مجهول. لكن وجود معادلتين لا يضمن حلًا وحيدًا؛ قد تصفان خطين متوازيين أو الخط نفسه. سنفحص ذلك إلى جانب الحساب.
طرق حل المعادلة التربيعية تبدأ بقراءة شكلها قبل الحساب. المعادلة ذات الصورة ax²+bx+c=0 تربيعية إذا كان a≠0؛ وقد يسهل حلها بالتحليل، أو بعزل مربع، أو بإكمال المربع، بينما يعطي القانون العام طريقًا يصلح لكل معادلة من هذه الصورة. الهدف إيجاد جميع القيم التي تحقق المساواة، ثم فحصها بالتعويض.
شرح المربعات الكاملة في الرياضيات يبدأ بسؤال بسيط: هل يمكن كتابة العدد على صورة مربع عدد صحيح؟ مثلًا 49 يساوي 7²، لذلك هو مربع كامل. ضرب العدد في نفسه يصنع صفوفًا وأعمدة متساوية في نموذج المربعات، ويساعدنا الجذر التربيعي أو تحليل العوامل على فحص أعداد أكبر من دون رسم جميع وحداتها.
بحث عن كثيرات الحدود يساعدك على قراءة التعبير الجبري قبل إجراء العمليات عليه. ننظر إلى حدود التعبير ومعاملاته وأسسه، ثم نجمع الحدود المتشابهة كي تظهر درجته الفعلية. ويمكن أن يمثل كثير الحدود عددًا ثابتًا أو علاقة خطية أو مساحة مستطيل؛ اسمه لا يعني بالضرورة أن فيه حدودًا كثيرة.
أساسيات المنطق الرياضي تبدأ بتحديد ما نقوله بدقة، ثم النظر إلى كيفية ارتباط القضايا بعضها ببعض. في المنطق الكلاسيكي للقضايا، نعامل القضية بوصفها جملة خبرية لها قيمة صدق: صادقة أو كاذبة. تساعدنا الرموز وجداول الصدق على فحص تركيب الاستدلال، بدل الاكتفاء بأن يبدو الكلام مقنعًا.
نظم المعلومات الجغرافية، واختصارها GIS، أدوات تجمع بيانات مرتبطة بالمكان وتديرها وتحللها وتعرضها. فهي تربط سؤال «أين يوجد الشيء؟» بمعلومات عنه؛ مثل موقع مدرسة وعدد طلابها، ثم تساعد على كشف العلاقات بينه وبين الطرق والمساكن والخدمات الأخرى.
حساب قوة الاحتكاك يبدأ بتحديد حالة التلامس: هل ينزلق الجسم على السطح، أم ما زال ثابتًا بالنسبة إليه؟ في نموذج الاحتكاك الحركي البسيط نستعمل fₖ=μₖN، حيث N القوة العمودية بين السطحين. بعد ذلك نجمع القوى لإيجاد المحصلة والتسارع؛ المحصلة ليست القوة التي نعوض بها مكان N.
تحليل المتجهات يعني وصف المتجه بمركبات على محاور نختارها. المتجه الأصلي لا يتغير؛ الذي يتغير هو طريقة كتابته. في مستوى ذي محورين متعامدين، تكفي المركبتان الأفقية والرأسية لتحديده، ثم نستطيع جمع القوى أو الإزاحات مركبة بمركبة بدل جمع مقاديرها فقط.
قانون التسارع المركزي يربط سرعة الجسم على مسار دائري بنصف قطر المسار: a_c=v²/r. اتجاه هذه المركبة نحو مركز الدائرة؛ فهي تعبر عن تغير اتجاه السرعة المتجهة. لذلك قد يكون مقدار السرعة ثابتًا ومع ذلك يوجد تسارع، لأن المتجه لا يحتفظ بالاتجاه نفسه أثناء الدوران.
الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة يظهر حين يغير الجسم اتجاهه. الأولى تقسم المسافة الكلية على الزمن الكلي، والثانية تقسم الإزاحة على الزمن نفسه. لذلك قد تنتهي رحلة طويلة عند نقطة البداية، فتكون السرعة المتجهة المتوسطة صفرًا رغم أن الجسم قطع مسافة فعلية.
مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعه في √3/4. إذا رمزنا للضلع بالرمز a، كان القانون A = √3 a² / 4، حيث تُكتب النتيجة بوحدة مربعة. لا تحتاج إلى قياس الأضلاع الثلاثة كلٌّ على حدة؛ يكفي معرفة طول واحد مع التأكد من أن المثلث متساوي الأضلاع.
قانون النسب المتضاعفة يصف العلاقة بين مركبين أو أكثر يتكونان من العنصرين نفسيهما: عندما نثبت كتلة أحد العنصرين، تكون كتل العنصر الآخر المرتبطة بها في نسبة أعداد صحيحة صغيرة. معنى «كتلة ثابتة» هنا هو توحيد أساس المقارنة؛ لا نقارن عينتين مختلفتين في الحجم قبل إجراء هذه الخطوة.
