من الظواهر اليومية إلى اتساع الكون.
1876 مقالًا
تلوين الحواف لتمييز الرؤوس المتجاورة يجعل الدورة الرباعية تحتاج أربعة ألوان، رغم أن لونين يكفيان لتلوين حوافها العادي. المشكلة أن كل رأس في التلوين المتناوب يرى المجموعة نفسها {1,2}. سنقارن مجموعات الحواف عند طرفي كل حافة، ونثبت لماذا لا يكفي لون ثالث، ثم نفرق بين رأس معزول مسموح وحافة منفردة تجعل الحل مستحيلًا.
اختيار وزن التكامل يحدد أي متوسط نحسب.
تمييز جميع الرؤوس بألوان الحواف يجعل الدورة السداسية تحتاج خمسة ألوان، رغم أن ثلاثة تميز طرفي كل حافة فيها. الفرق هو المقارنة بين رأسين غير متجاورين أيضًا؛ فقد يرى كل منهما مجموعة الألوان نفسها. سنكتب شاهدًا بخمسة أسماء، ونستبعد أربعة باستخدام عدّ المجموعات وزوجية الظهور، ثم نوضح لماذا يمنع وجود رأسين معزولين هذا النوع من التلوين.
نقيس من خط بداية مشترك. [1]
تمييز الرؤوس بمجموع أرقام الحواف يحتاج، في مثال مسارين منفصلين، لوحة مسموحة تصل إلى الرقم 5، رغم أننا نستعمل أربعة أرقام فقط. الأرقام هنا تدخل الجمع، فلا يكفي عد الألوان أو تبديل أسمائها كما في مقارنة المجموعات. سنكتب شاهدًا، ونستبعد كل تعيين من الأرقام 1 إلى 4، ثم نوضح كيف يفسد تبديل 5 إلى 4 المجاميع رغم بقاء التلوين الصحيح.
افحص كل الزوايا. [4]
قوة عدم الانتظام تسأل عن أصغر حد لأوزان صحيحة موجبة على الحواف يجعل مجموع كل رأس مختلفًا عن مجاميع بقية الرؤوس. في الدورة الرباعية، تكفي الأوزان 1 و 2 و 3، مع تكرار الوزن 1 على حافتين تلتقيان؛ هذا التكرار مسموح هنا. سنحسب المجاميع، ونثبت أن حدًا 2 لا يكفي، ثم نفصل مجموع الأوزان عن مجموعة القيم التي ظهرت.
لحساب مربع داخل مثلث قائم، تتغير القاعدة والارتفاع معًا عند اختيار الوتر. سنقارن وضعين في المثلث نفسه. [4]
تمييز الجيران بمجموع أوزان الحواف يطلب اختلاف مجموعي طرفي كل حافة، دون مقارنة غير المتجاورين. لذلك تكفي قيمتان للدورة الرباعية، رغم تساوي مجموع رأسين متقابلين. سنحسب المجاميع، ونستبعد حدًا 1، ونبين متى تكفي أوزان كلها 1، وكيف تختلف المسألة عن تمييز جميع الرؤوس.
نقارن أفضل مستطيل بأفضل مربع داخل قطع ناقص. [3]
نقارن أكبر أسطوانة داخل كرة بأسطوانة ارتفاعها يساوي قطر قاعدتها. [4]
التلوين الجمعي للرؤوس يضع أعدادًا على الرؤوس، ويطلب اختلاف مجموع أعداد الجيران عند طرفي كل حافة. لهذا تكفي قيمتان لحافة واحدة، بشرط أن نجمع أعداد الجيران دون عدد الرأس نفسه. سنكتب شاهدًا، ونستبعد الحد 1، ونرى كيف ينجح مسار بأعداد كلها 1، ولماذا يغير إدخال الرأس في الجمع نتيجة الفحص.
نقارن كرتين بثقبين مركزيين، وارتفاع متبقٍ واحد. [4]
الحجم والمساحة يتبعان تكاملين مختلفين. [4]
التلوين الكلي بمجاميع الجيران يضع أعدادًا على الرؤوس والحواف، ويلزم بالتلوين الصحيح وباختلاف المجاميع عند طرفي كل حافة. نجمع عدد الرأس نفسه مع أعداد حوافه الملتقية، لا مع أعداد الرؤوس المجاورة. يحتاج المثلث هنا الحد 5، رغم أن تلوينه الكلي العادي يحتاج ثلاثة ألوان؛ سنكتب شاهدًا ونفحص الحدود الأصغر.
إزالة جزء تغيّر توزيع الكتلة، ولو بقيت الرؤوس الخارجية. [4]
التلوين الكلي بالجداء يميز الرؤوس المتجاورة بحاصل ضرب عدد الرأس وأعداد حوافه، مع الحفاظ على التلوين الصحيح. تغيير العملية من الجمع إلى الضرب قد يغير نجاح التعيين نفسه: في مثلثنا تنجح الجداءات 15،24،60، بينما تفشل المجاميع 9،9،12. سنحسب النتيجتين، ونوضح دور العامل المشترك وحدود الأعداد وتبديل أسمائها.
مركز الكتلة يعتمد على توزيعها داخل الشكل. [4]
