أقصى قدرة للحمل: هل تعني أعلى كفاءة؟
أقصى قدرة للحمل وأعلى كفاءة سؤالان مختلفان، حتى في دائرة بسيطة. [1]
علوم وفضاء (الصفحة 64)
من الظواهر اليومية إلى اتساع الكون.
1731 مقالًا
مبرهنة بيك: مساحة المضلع من نقاط الشبكة
تتيح مبرهنة بيك حساب مساحة مضلع مرسوم على شبكة من النقاط، دون قياس كل ضلع مائل. في المثال المرسوم، سنعد 9 نقاط داخلية و 20 نقطة على الحدود، فنجد المساحة 18 وحدة مربعة. المهم أن نميز نقطة الشبكة من رأس المضلع، وأن نعرف مساحة خلية الشبكة قبل كتابة الوحدة.
خطأ التكميم: متى يفشل حد نصف الخطوة؟
تختلف قواعد التقريب نحو الأقرب والصفر والسالب. [1] لكن حد الخطأ يتوقف أيضًا على القيم المتاحة. سنحسب شبكة محدودة يظهر عند طرفيها أثر التشبع.
صيغة هيرون: مساحة المثلث من أضلاعه الثلاثة
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث 36 و 61 و 65، فما مساحته دون أن تعطينا المسألة ارتفاعًا؟ سنستخدم صيغة هيرون لنجد 1080 وحدة مربعة، ثم نبني مثالًا إحداثيًا للتحقق. تبدأ الطريقة بفحص صلاحية الأطوال، ثم حساب نصف المحيط، لا المحيط كاملًا.
اتزان الغاز: 400 أم 450 كلفن؟
اتزان الغاز يتأثر بعدد المولات؛ تساوي الحجم والضغط لا يضمن تساويها. [2]
الالتفاف الخطي والدائري: لماذا نضيف الأصفار قبل تحويل فورييه؟
عكس حاصل ضرب تحويلين متقطعين يعطي التفافًا دائريًا. [1] سنحسب أثر الطول.
إزاحة الشعاع في صفيحة: أي مسافة تقيس؟
إزاحة الشعاع في صفيحة تغير موضعه رغم توازي اتجاهي الدخول والخروج. [1][2]
معادلة بارسيفال: كيف تحسب طاقة الإشارة من تحويل فورييه؟
تربط معادلة بارسيفال مجموع مربعات الإشارة بمربعات مقادير تحويلها. [1] سنحسب مثالًا يوضح عامل عدد النقاط، ثم أثر تجميع جانب واحد وإضافة الأصفار.
مبرهنة مورلي: أثلاث الزوايا ترسم مثلثًا متساوي الأضلاع
داخل المثلث A=(−1,0)، B=(1,0)، C=(0,1)، سنقسم الزوايا إلى أثلاث ونختار ثلاثة تقاطعات بعناية. تنتج نقاط P و Q و R مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه 2−√3. ثم سنغير زوجًا واحدًا من الأشعة، لنرى لماذا لا يكفي أن تكون الخطوط أشعة تثليث صحيحة دون اختيار الزوج المطلوب.
فرع خارجي مفتوح: لماذا يستمر تيار بين مصدرين؟
فرع خارجي مفتوح لا يقطع بالضرورة الحلقة بين مصدرين متصلين بالعقدتين نفسيهما. [1]
متباينة إردوش–موردل: المسافات إلى الرؤوس والأضلاع
اختر نقطة P=(2,2) داخل المثلث A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6). المسافات العمودية منها إلى الأضلاع الثلاثة متساوية، لكن المسافات إلى الرؤوس مختلفة. سنجمع النوعين ونقارن بينهما، ثم نختبر حالة المساواة في مثلث متساوي الأضلاع. وأخيرًا سننقل النقطة إلى خارج المثلث؛ هناك يتغير الحكم رغم بقاء الأطوال موجبة والحساب صحيحًا.
طور فورييه: لماذا لا يكشف المقدار وحده ترتيب الإشارة؟
يعرض تحويل فورييه مقدارًا وطورًا. [2] سنحسب ثلاث متتاليات مختلفة تتطابق مقادير تحويلاتها، ثم نرى ما يضيع حين نحتفظ بالمقدار وحده.
التسرب الطيفي: هل يزيله حشو الأصفار؟
حشو الأصفار يجعل خانات تحويل فورييه أقرب، لكنه لا يضيف عينات مقاسة ولا يحسن القدرة على تمييز الترددات بذاته. [1] سنقارن سجلًا قصيرًا محشوًا بالأصفار بتسجيل أطول للإشارة نفسها.
متباينة ويتزنبوك: مجموع مربعات الأضلاع يحد مساحة المثلث
ثلاثة مثلثات يمكن أن تشترك في المساحة 12√3، مع اختلاف مجموع مربعات أضلاعها: 152 في الأول، و 150 في الثاني، و 144 في الثالث. سنبني هذه النماذج بالإحداثيات، ونحسب الفروق الدقيقة. ثم نكتب الفرق في صورة مجموع مربعين لنعرف لماذا يحقق المثلث المتساوي الأضلاع المساواة، ولماذا لا يكفي مجرد تساوي ساقين.
الارتباط المتبادل: لماذا تنعكس إشارة التأخير؟
يقارن الارتباط المتبادل إشارة بنسخ مزاحة من إشارة أخرى. ترتيب المدخلين واتفاقية التأخر يؤثران في الإشارة الناتجة. [1] سنحسب مثالًا يميز التأخر السالب على محور الارتباط من تأخير موجب للإشارة الثانية.
مبرهنة دي غوا: فيثاغورس لمساحات أوجه رباعي السطوح
في رباعي السطوح OABC، اختر O=(0,0,0)، A=(4,0,0)، B=(0,9,0)، C=(0,0,12). الحواف الثلاث الخارجة من O متعامدة زوجيًا. مساحات الأوجه المجاورة لهذا الرأس 18 و 24 و 54، لكن مساحة الوجه المقابل ليست مجموعها 96؛ إنها 6√106. سنحسبها بطريقتين، ثم نغير موضع B لنختبر أهمية التعامد الثالث.
المرشح المطابق: متى يعطي أفضل نسبة للإشارة إلى الضوضاء؟
تصف المراجع المرشح المطابق بأنه يعظم نسبة الإشارة إلى الضوضاء لإشارة معلومة في ضوضاء بيضاء غاوسية. [1] سنثبت النتيجة في مثال صغير، ثم نغير تباين الضوضاء لنرى لماذا لا يكفي اسم المرشح وحده.
تردد مكبس الغاز: ثابت الحرارة أم بلا تبادل حراري؟
تردد مكبس الغاز يتغير إذا تغيرت طريقة تبادل الحرارة أثناء حركته. [1]