لوغاريتم المصفوفة: مثال محسوب وشروط الوجود
لوغاريتم المصفوفة A مصفوفة X تحقق e^X=A. [1] نحسب مثالًا.
علوم وفضاء (الصفحة 62)
من الظواهر اليومية إلى اتساع الكون.
1731 مقالًا
تدريج الهيدرومتر: لماذا تتقارب علامات الكثافة؟
تدريج الهيدرومتر يتبع الحجم المزاح؛ ساق منتظمة لا تعني علامات كثافة متساوية التباعد. [1]
مبرهنة بابوس: ثلاثة تقاطعات على مستقيم واحد
نختار A=(0,0)، B=(4,0)، C=(10,0) على المستقيم y=0، و D=(1,6)، E=(7,6)، F=(13,6) على المستقيم y=6. من ستة مستقيمات تصل بين المجموعتين نحصل على X=(14/5,12/5)، Y=(65/11,30/11)، Z=(17/2,3). تبدو النقاط متقاربة في الارتفاع، لكن وقوعها على مستقيم واحد يحتاج حسابًا؛ وسنجد أنها تحقق جميعًا 2x−19y+40=0.
ضرب كرونيكر: من معادلة مصفوفية إلى أربعة مجاهيل
ضرب كرونيكر A⊗B مصفوفة كتل aᵢⱼB. [1][2] نحسب مثالًا.
خرزة على طوق دوار: متى يفقد القاع استقراره؟
خرزة على طوق دوار قد تثبت بالنسبة للطوق وتدور بالنسبة للأرض. [2]
مبرهنة ديزارغ: تلاقي وصلات الرؤوس واستقامة تقاطعات الأضلاع
نختار مثلثًا رؤوسه A=(2,1)، B=(5,2)، C=(3,2)، ومثلثًا آخر رؤوسه A′=(16/5,8/5)، B′=(80/13,32/13)، C′=(48/11,32/11). وصلات الرؤوس المتناظرة تمر كلها بـ O=(0,0). لكن نتيجة مبرهنة ديزارغ تتعلق بتقاطعات الأضلاع المتناظرة: سنجد X=(8,3)، Y=(8,2)، Z=(8,7)، فتقع جميعًا على المستقيم الرأسي x=8.
معادلة سيلفستر: حل وحيد أم حلول كثيرة أم لا حل؟
معادلة سيلفستر هنا AX+XB=C، والمجهول مصفوفة X. [2] ندرس الوجود والحل الوحيد بمثال يتغير بمعامل t.
استبدال المحلول: لماذا تختلف الدفعات عن التدفق المستمر؟
في استبدال المحلول، قد يخرج الماء المضاف مع السحب التالي. [1]
معادلة ليابونوف: كيف نثبت استقرار نظام خطي؟
معادلة ليابونوف AᵀP+PA=−Q تربط نظامًا خطيًا بمقياس تربيعي يتناقص. [1] نحسب مثالًا ونفحص شروطه.
متوسط الامتصاصية: هل يساوي قراءة الضوء المجموع؟
متوسط الامتصاصية يختلف عن قراءة لوغاريتم الضوء المجموع. [2]
الرباعي الكامل: ثلاثة منتصفات أقطار على مستقيم واحد
أربعة مستقيمات x=0 و y=0 و x+y=1 و 2x+3y=1 تتقاطع في ست نقاط. إذا وصلنا أزواج التقاطعات المتقابلة حصلنا على ثلاثة أقطار، ومنتصف كل منها نقطة: M=(1,−1/2)، N=(1/4,1/2)، T=(1/2,1/6). سنثبت أن هذه النقاط تحقق 8x+6y−5=0، ثم نختار قطعة أخرى ونرى لماذا لا تشمل النتيجة أي ثلاثة منتصفات عشوائية.
معادلة ليابونوف المتقطعة: ماذا يتغير بين خطوتين؟
للنظام xₖ₊₁=Axₖ ندرس AᵀPA−P=−Q، صيغة ليابونوف المتقطعة. [2] سنحسب فرق مقياس الحالة بين تحديثين.
الوسيط وأقل مجموع مسافات: لماذا قد تتعدد الحلول؟
الوسيط وأقل مجموع مسافات: قد تتحقق القيمة الدنيا على فترة. [1][2]
مبرهنة فان أوبل: مراكز المربعات تعطي وصلتين متساويتين ومتعامدتين
على أضلاع الرباعي A=(0,0)، B=(6,0)، C=(8,5)، D=(1,3) نبني أربعة مربعات للخارج. مراكزها ليست رؤوس الرباعي ولا منتصفات أضلاعه. سنصل المركز الأول بالثالث والثاني بالرابع، فنحصل على P=(1/2,21/2) و Q=(−21/2,1/2). مربع طولهما 221/2، وحاصل ضربهما الداخلي 0. ثم نعكس مربعًا واحدًا ونحسب ما يتغير.
الكتلة المولية للخليط: كتلتان أم مولات متساوية؟
الكتلة المولية للخليط تتطلب تمييز الكسور الكتلية من المولية. [2]
قابلية التحكم: كيف ننقل حالة نظام خطي بمدخل واحد؟
قابلية التحكم في xₖ₊₁=Axₖ+Buₖ تعني إمكان نقل أي حالة ابتدائية إلى أي حالة مطلوبة بمدخلات مناسبة. [1] سنختبر ذلك في تحديثين.
مبرهنة نابليون: مراكز ثلاثة مثلثات ترسم مثلثًا متساوي الأضلاع
نبدأ بمثلث A=(0,0)، B=(6,0)، C=(2,2√3). نبني على أضلاعه ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع للخارج، ثم نصل مراكزها L و M و N. سنحسب أن مربع طول كل ضلع في مثلث LMN يساوي 76/3، رغم اختلاف أطوال أضلاع ABC. وبعدها نعكس مثلث BC وحده لنرى كيف يختل التساوي.
قابلية الرصد: هل تكفي قراءتان لمعرفة الحالة؟
قابلية الرصد تعني إمكان تحديد الحالة الابتدائية من المخرجات والمدخلات المعلومة في نموذج خطي. [1] سنستعيد مركبتين من قراءتين ونفحص أثر خطأ القياس.